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up::vecteur, forme bilinéaire title:: "forme bilinéaire forme bilinéaire symétrique forme bilinéaire définie forme bilinéaire positive" #s/maths/algèbre

[!definition] produit scalaire Soit E un espace vectoriel Soient u et v des veceurs de E Le produit scalaire de deux vecteur u et v est défini comme : \langle u, v \rangle = u^T \times v (multiplication de matrices, avec u en ligne et v en colonnes) ^definition

[!definition] définition géométrique \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|\cdot\|\vec{v}\|\cdot \cos\left(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}\right) \|\vec{v}\|\cdot \cos \left( \widehat{\vec{u}, \vec{v}} \right) est la mesure algébrique (norme avec un signe) du projeté de \vec{v} sur \vec{u} Donc, \vec{u}\cdot\vec{v} est le produit des normes des composantes en \vec{u} de \vec{u} et \vec{v} (c'est pourquoi \frac{u.v}{\|u\|} \times \frac{1}{\|u\|}\times u est le projeté orthogonal d'un vecteur de v sur u)

• i \vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{u} donc on peut projection d'un vecteur sur une droite vectorielle sur \vec{u} ou sur \vec{v} indiféremment. ^definition-geometrique

[!definition] Définition formelle Soit E un $\mathbb{R}$-espace vectoriel Un produit scalaire est une forme bilinéaire forme bilinéaire symétrique, forme bilinéaire définie et forme linéaire positive

• forme bilinéaire b
  • forme bilinéaire symétrique : b(x, y) = b(y, x)
  • forme bilinéaire définie : b(x, x) = 0 \iff x = \vec{0}
  • forme bilinéaire positive : b(x, x) \geq 0

Si on munit E de \varphi, on obtient un espace préhilbertien réel ^definition-formelle

[!definition] produit scalaire classique \begin{align}\langle u,v \rangle &= \sum\limits_{i} \left( u_{i}\times v_{i} \right)\\ &= u^{T}\times v\end{align} (sur un espace vectoriel de dimension d'un espace vectoriel finie, sur \mathbb{R} ou sur \mathbb{C}) (ce n'est pas le seul produit scalaire possible. Voir produit scalaire#^definition-formelle)

Propriétés

Propriétés des produits scalaires

Soit \langle \cdot,\cdot \rangle un produit scalaire quelconque

• Soit A une matrice : \boxed{\langle u, Av \rangle = \langle \,^T\!Au, v \rangle}
  • Démonstration :

$$\begin{align} \langle u, A v \rangle &= \left(,^T!u \right) M \left(A v \right) && \text{soit } M \text{ la matrice du produit scalaire}\ &= \left( ,^T!u M A \right) v && \text{par associativité} \ &= ,^T!\left( ,^T!A M u \right) \cdot v && \text{car } M \text{ est symétrique}\ &= \end{align}$$

Orthogonalité

On utilise le produit scalaire pour définir l'vecteurs orthogonaux.

On dit que : \langle u, v\rangle = 0 \iff \begin{cases} \vec{u}=\vec{0} \text{ ou } \vec{v}=\vec{0}\\ \text{ ou }\\ \vec{u} \bot \vec{v} \end{cases}

Ou bien simplement u \bot v \iff \langle u, v\rangle si on considère que \vec{0} est orthogonal à tous les autres vecteur, ou bien si on l'exclut.

Colinéarité

On utilise le produit scalaire et la norme pour définir la vecteurs colinéaires.

On dit que u \text{ colinéaire à } v \iff \left|\langle u,v\rangle \right| = \|u\|\cdot\|v\|, c'est-à-dire quand l'inégalité de cauchy schwartz est une égalité.