cours/image réciproque d'un ensemble.md

up:: application réciproque #s/maths/ensembles

[!definition] Définition Soit f : E \to F une application Soit A \subset F une partie de F On note f^{-1}(A) et on appelle image réciproque de A par $f$ l'ensemble des valeurs de E dont l'image par f est dans A : \boxed{f^{-1}(A) := \{ x \in E \mid f(x) \in A \}} ^definition

Propriétés

[!proposition] morphismes sur \cap et \cup Soit f : E \to F Soient (A, A') \in E^{2} et (B, B') \in F^{2} On a :

• f^{-1}(B \cup B') = f^{-1}(B) \cup f^{-1}(B')
• f^{-1}(B \cap B') = f^{-1}(B) \cap f^{-1}(B')
• f(A \cup A') = f(A) \cup f(A')
• ! f(A \cap A') \subset f(A) \cap f(A')

Fonctionne aussi sur les familles d'ensembles :

• \displaystyle f^{-1}\left( \bigcup_{l \in L}B_{l} \right) = \bigcup _{l \in L} \left( f ^{-1}(B_{l}) \right)