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up::endomorphisme d'espaces vectoriels, application linéaire #s/maths/algèbre

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Un endomorphisme linéaire est une application linéaire d'un espace vectoriel dans lui même.

[!definition] endomorphisme linéaire Soient E et F des $\mathbf{K}$-espace vectoriel Soit f : E \to F f est un endomorphisme linéaire ssi :

• f est une application linéaire
• E = F (soit f: E \to E) ^definition

[!definition] Autre définition Un endomorphisme linéaire est un morphisme de groupes d'un espace vectoriel dans lui-même

[!info] Remarque On montre que toute application linéaire d'un espace vectoriel dans lui-même est un morphisme de groupes.

Propriétés

• toute application linéaire de E \to E est un endomorphisme linéaire (et donc un morphisme de groupes)

Sur un endomorphisme linéaire, on a la suite d'équivalences suivante : f est injection. \iff \ker f = \{0_E\} \iff \dim\ker f = 0 \iff \dim \text{Im } f = \dim E (car on sait que \dim\ker f + \dim\text{Im } f = \dim E) \iff \text{Im } f = E \iff f est surjection \iff puisque f est injection et surjection, elle est bijection. Donc, il suffit qu'une application linéaire sur un endomorphisme linéaire respecte une de ces propriétés soit vraie pour que l'application soit bijection.

Théorème : Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie, et f un endomorphisme linéaire de E, on a : f injection \iff f surjection \iff f bijection

[!query] Sous-notes de =this.file.link

LIST title
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