cours/gradient d'une fonction.md

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gradient

up:: fonction de plusieurs variables #s/maths/analyse

[!definition] gradient d'une fonction Dans un système de coordonnées cartésiennes, soit f une fonction différentiable au point a = (x_1, x_2, \dots ,x_{n}) Le gradient de f en a, est le vecteur \nabla f(a) et défini par : \nabla f(a) = \begin{pmatrix}\dfrac{ \partial f }{ \partial x_1 }\\ \dfrac{ \partial f }{ \partial x_2 } \\ \vdots \\ \dfrac{ \partial f }{ \partial x_{n} }\end{pmatrix} ^definition

Propriétés

• Si le vecteur gradient n'est pas nul, alors :

  • il pointe dans la direction où la fonction croît le plus vite
  • sa norme est égale au taux de croissance dans cette direction

• Lorsque le gradient s'annulle, on est sur un extremum local (minimum, maximum, ou point col)

  • Il est donc intéressant de résoudre \overrightarrow{\nabla}f(x_1, \dots, x_{n}) = \vec{0}, puisque les solutions sont les points cols
  • Pour connaître la nature des points cols, on utilise le déterminant hessien