46 lines
1.8 KiB
Markdown
46 lines
1.8 KiB
Markdown
---
|
||
alias: [ "domination", "dominée" ]
|
||
---
|
||
up::[[fonction]]
|
||
sibling::[[fonction négligeable devant une autre]], [[fonctions équivalentes|équivalence]]
|
||
title::"$f = \mathcal{O}_{x_{0}}(g) \iff \dfrac{f}{g} \text{ est bornée au voisinage de } x_{0}$"
|
||
#s/maths/analyse
|
||
|
||
----
|
||
> [!definition] fonction dominée
|
||
> Soient deux fonction $f$ et $g$ de $I \setminus\{a\}$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ (avec $a\in\overline{\mathbb{R}}$, [[ensemble des réels complété|ℝ barre]] )
|
||
> $f$ est _dominée_ par $g$ en $a$, ssi **$\frac{f}{g}$ est bornée au voisinage de $a$**
|
||
>
|
||
^definition
|
||
|
||
> [!définition] fonction négligeable - définition formelle
|
||
> - $f = \mathcal{O}_a(g) \iff \exists M\in\mathbb{R}^{+}, |f(x)| \leq M|g(x)|$ au voisinage de $a$
|
||
> - $f = \mathcal{O}_a(g) \iff \exists M\in\mathbb{R}^{+}, \exists \alpha\in\mathbb{R}^{+*}, \forall x \in ]a-\alpha; a+\alpha[, |f(x)| \leq M|g(x)|$
|
||
^definition-formelle
|
||
|
||
> [!note]
|
||
> $f$ est _dominée_ par $g$ si $f$ "_ne l'emporte pas complètement sur $g$_"
|
||
^definition-intuitive
|
||
|
||
# Notation
|
||
On note $f = O_{a}(g)$ pour "_$f$ est dominée par $g$ au voisinage de $a$_".
|
||
c'est la notation du **grand O**
|
||
|
||
|
||
# Propriétés
|
||
- $f=\mathcal{O}_{x_{0}}(g) \iff g=\mathcal{O}_{x_{0}}(f)$
|
||
- la domination est [[commutativité|commutative]]
|
||
- évident, car si $\frac{f}{g}$ est [[fonction bornée|bornée]], alors $\frac{g}{f}$ l'est aussi
|
||
|
||
- $\mathcal{O}_{a}(1)$ désigne toute [[fonction bornée]] au voisinage de $a$
|
||
|
||
- Si $f = \mathcal{O}_{x_{0}}(g)$ et $h = \mathcal{O}_{x_{0}}(g)$, alors $\lambda f + \mu h = \mathcal{O}_{x_{0}}(g)$ ($(\lambda, \mu) \in \mathbb{C}^{2}$)
|
||
- stable par [[combinaison linéaire]]
|
||
|
||
- $\mathcal{O}(\mathcal{O}(f)) = \mathcal{O}(f)$
|
||
- formellement si $f = \mathcal{O}(g)$ et $g = \mathcal{O}(h)$ alors $f = \mathcal{O}(h)$
|
||
- la domination est [[relation transitive|transitive]]
|
||
|
||
|
||
|