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date::2022-08-24
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#t/exercice #s/maths/algèbre
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# [[sous espace vectoriel|sev]] de $\mathbb{R}$ munis de $\times$
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On munit $\mathbb{R}^{n}$ des lois produit usuelles. Parmi les sous-ensembles suivants $F$ de $\mathbb{R}^{n}$, lesquels sont des [[sous espace vectoriel|sev]] ?
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## 1) $F = \{(x_{1},\ldots,x_{n})\in \mathbb{R}^{n} \mid x_{1} = 0\}$
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$F \neq \emptyset$ car $F$ contient le vecteur nul.
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Soient $u = (x_{1},\ldots,x_{n}) \in F$ et $u' = (x'_{1},\ldots,x'_{n}) \in F$
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$x_{1} = 0$ et $x'_{1} = 0$
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Donc : $u \times u' = (x_{1}\times x'_{1},\ldots,x_{n}\times x'_{n})$
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Or, on sait que $x_{1} \times x'_{1} = 0$
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Donc $u \times u' \in F$
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$\square$
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## 2) $F = \{(x_{1},\ldots,x_{n}) \in \mathbb{R}^{n} \mid x_{1} = 1\}$
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$F \neq \emptyset$ car $F$ contient le vecteur unité.
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Soient $u \in F$ et $u' \in F$ avec $u=(x_{1},\ldots,x_{n})$ et $u'=(x_{1},\ldots, x_{n})$
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$u \times u' = (x_{1} \times x'_{1}, \ldots, x_{n} \times x'_{n})$
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Or, $x_{1} = x'_{1} = 1$ donc $x_{1} \times x'_{1} = 1$
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Donc $u \times u' \in F$
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$F$ est un [[sous espace vectoriel|sev]] de $(\mathbb{R}^{n}, \times)$
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$\square$
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## 3) $F = \{(x_{1},\ldots,x_{n}) \in \mathbb{R}^{n} \mid x_{1} = x_{2}\}$
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$F \neq \emptyset$ car $F$ contient le vecteur nul.
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Soient $u \in F$ et $u' \in F$ avec $u=(x_{1},\ldots,x_{n})$ et $u'=(x_{1},\ldots, x_{n})$
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$u \times u' = (x_{1} \times x'_{1}, \ldots, x_{n} \times x'_{n})$
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Puisque $x_{1}=x_{2}$ et $x'_{1} = x'_{2}$, alors $x_{1} \times x'_{1} = x_{2} \times x'_{2}$
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Donc $u \times u' \in F$
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$F$ est un [[sous espace vectoriel|sev]] de $(\mathbb{R}^{n}, \times)$
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$\square$
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## 4) $F = \{(x_{1},\ldots,x_{n}) \in \mathbb{R}^{n} \mid x_{1}+\cdots + x_{n} = 0\}$
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$F \neq \emptyset$ car $F$ contient le vecteur nul.
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Soient $u \in F$ et $u' \in F$ avec $u=(x_{1},\ldots,x_{n})$ et $u'=(x_{1},\ldots, x_{n})$
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$u \times u' = (x_{1} \times x'_{1}, \ldots, x_{n} \times x'_{n})$
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Or, $x_{1}+\cdots+x_{n} = 0$ et $x'_{1}+\cdots +x'_{n} = 0$ n'implique pas que $x_{1}\times x'_{1}+\cdots+x_{n}\times x'_{n} = 0$
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**Contre-exemple :**
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- $-1 + (-2) + 3 = 0$
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- $5 + (-2) + (-3) = 0$
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- pourtant $(-5) + 4 + (-9) \neq 0$
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Donc, $F$ n'est pas toujours un [[sous espace vectoriel|sev]] de $(\mathbb{R}^{n}, \times)$
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## 5) $F = \{(x_{1},\ldots,x_{n}) \in \mathbb{R}^{n} \mid x_{1} \times x_{2} = 0\}$
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$F \neq \emptyset$ car $F$ contient le vecteur nul.
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Soient $u \in F$ et $u' \in F$ tels que $u = (x_{1},\ldots,x_{n})$ et $u' = (x'_{1},\ldots, x'_{n})$
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$u \times u' = (x_{1}\times x'_{1}, x_{2}\times x'_{2}, \ldots, x_{n} \times x'_{n})$
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On sait que $x_{1} \times x_{2} = 0$ et $x'_{1}\times x'_{2} = 0$
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**On suppose que $x_{1} \times x'_{1} \neq 0$**
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- c'est possible si $x_{1} \neq 0$ et $x'_{1} \neq 0$
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- alors $x_{2} = 0$ et $x'_{2} = 0$
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- Donc $(x_{1}\times x'_{1}) \times (x_{2}\times x'_{2}) = 0$ et $u \times u' \in F$
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**On suppose que $x_{2}\times x'_{2} \neq 0$
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- même raisonnement que dans le cas précédent
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**On suppose que $x_{1}\times x'_{1} = 0$ et $x_{2}\times x'_{2} = 0$**
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- alors on à bien $u \times u'\in F$
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**On suppose que $x_{1}\times x'_{1} \neq 0$ et $x_{2} \times x'_{2} \neq 0$**
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- impossible car dans ce cas, on ne peu pas avoir $x_{1} \times x_{2} = 0$
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On à bien tous les cas, donc pour tout $(u, u') \in F^{2}$, on à bien $u \times u' \in F$
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$(F, \times)$ est donc bien un [[sous espace vectoriel|sev]] de $(\mathbb{R}^{n}, \times)$
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# Exercice 975
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Soit $F$ le [[sous espace vectoriel|sev]] de $\mathbb{R}^{4}$ engendré par $u = (1,2,-5,3)$ et $v = (2,-1,4,7)$. Déterminer $\lambda$ et $\mu$ réels tels que $(\lambda, \mu, -37, -3) \in F$
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Pour appartenir à $F$, un vecteur doit être une combinaison linéaire de $u$ et $v$, c'est-à-dire s'écrire comme :
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$\alpha u + \beta v$
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Donc, on doit avoir $-5 \alpha + 4 \beta = -37$ et $3 \alpha + 7 \beta = -3$
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On utilise la méthode de résulution par déterminant (voir [[système linéaire à deux inconnues]])
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$$\begin{align*}
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\left\{ \begin{gathered}
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-5 \alpha + 4 \beta = -37\\
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3 \alpha + 7 \beta = -3
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\end{gathered} \right. &\iff
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\left\{ \begin{gathered}
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\alpha = \frac{1}{\small\begin{vmatrix}-5&4\\3&7\end{vmatrix}} \begin{vmatrix} -37&4\\-3&7 \end{vmatrix}\\
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\beta = \frac{1}{\small\begin{vmatrix}-5&4\\3&7\end{vmatrix}} \begin{vmatrix} -5&-37\\3&-3 \end{vmatrix}
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\end{gathered} \right.\\
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&\iff \left\{ \begin{gathered}
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\alpha = \frac{247}{47}\\
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\beta = - \frac{126}{47}
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\end{gathered} \right.
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\end{align*}$$
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Alors, on sait que $\lambda = \alpha + 2\beta = - \frac{5}{47}$ et que $\mu = 2\alpha - \beta = \frac{368}{47}$
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Donc :
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$\left\{ \begin{gathered} \lambda = - \frac{5}{47} \\ \text{et} \\ \mu = \frac{368}{47} \end{gathered} \right.$
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# Exercice 976
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Montrer que $a = (1, 2, 3)$ et $b = (2,-1,1)$ engendrent le même [[sous espace vectoriel|sev]] de $\mathbb{R}^{3}$ que $c=(1,0,1)$ et $d=(0,1,1)$
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$(c; d)$ est une [[famille de vecteurs libre]] car $c$ et $d$ ne sont pas [[vecteurs colinéaires|colinéaires]], leur [[sous espace vectoriel|sev]] engendré est donc de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] 2.
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De même pour $(a;b)$.
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Or, $a = c + 2d$ et $b = 2c - d$
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Donc, puisque $(a;b)$ est [[famille de vecteurs libre|libre]] et engendre un [[sous espace vectoriel|sev]] de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] 2, on peut dire qu'elle génère le même [[sous espace vectoriel|sev]] que $(c;d)$ car $(a;b)$ est contenue dans le [[sous espace vectoriel|sev]] généré par $(c;d)$
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- $(a;b)$ est [[famille de vecteurs libre|libre]]
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- $a$ et $b$ ne sont pas [[vecteurs colinéaires|colinéaires]]
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- donc $(a;b)$ engendre un [[sous espace vectoriel|sev]] de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] 2
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- $(a;b) \subset \text{Vect}(a;b)$
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