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- s/maths/logique
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> [!definition] Définition
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> Soit $X$ un ensemble
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> Un **filtre** sur $X$ est un ensemble $\mathscr{F} \subseteq \mathcal{P}(X)$ qui vérifie les propriétés suivantes :
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> 1. $X \in \mathscr{F}$ (contient $X$)
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> 2. Si $A, B \in \mathscr{F}$ alors $A \cap B \in \mathscr{F}$ (stabilité par intersection)
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> 3. Si $A \in \mathscr{F}$ et $A \subseteq B$ alors $B \in \mathscr{F}$ (stabilité par ?)
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> Dans tous les livres, on rajoute une hypothèse pour exclure le filtre trivial :
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> - $\emptyset \notin \mathscr{F}$ (le filtre est non trivial)
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^definition
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# Propriétés
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> [!proposition]+ Filtre trivial
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> $\mathscr{F} = \mathcal{P}(X)$ est le **filtre trivial** sur $X$
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> - i cela est rendu impossible si on admet $\emptyset \in \mathscr{F}$, ce que l'on fait généralement
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^filtre-trivial
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> [!proposition]+ Relation d'ordre sur les filtres
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> On peut définir une relation d'ordre sur les filtres sur $X$, héritée de la relation d'inclusion dans $\mathcal{P}(\mathcal{P}(X))$
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^relation-d-ordre
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# Exemples
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## 1 - [[filtre de fréchet]]
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## 2 - voisinages
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Soit $X$ un [[structure de topologie|espace topologique]] (par exemple $X \subseteq \mathbb{R}^{n}$ ou bien un [[espace métrique]])
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$\mathscr{F}_{x} = \{ V \in \mathcal{P}(X) \mid V \text{ est un voisinage de } x \}$ est un filtre non-[[filtre#^filtre-trivial|trivial]]
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- i $V$ est voisinage de $x$ $\iff \begin{cases} \exists \varepsilon > 0,\quad B(x, \varepsilon) \subseteq V \end{cases}$
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0. $V$ voisinage de $x$ $\implies$ $x \in V \implies v \neq \emptyset$
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1. $X$ est voisinage de $x$
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2. soient $V_1, V_2$ voisinages de $X$, alors $B(x, \varepsilon_1) \subseteq V_1$ et $B(x, \varepsilon_2) \subseteq V_2$ et donc $B(x, \min(\varepsilon_1, \varepsilon_2)) \subseteq V_1 \cap V_2$ donc $V_1 \cap V_2$ est bien un voisinage de $X$ d'où il suit que $V_1 \cap V_2 \in \mathscr{F}_{x}$
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## 3 - voisinages dans $\mathbb{R}$
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Soit le filtre $\mathscr{F}_{+\infty}$ défini par :
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- def $V \in \mathscr{F}_{+\infty}$ s'il existe $R \in \mathbb{R}$ tel que $]R, +\infty[ \subseteq V$
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## ensemble ordonné filtrant
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c'est-à-dire que toute partie finie est ordonnée
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c'est-à-dire : $\begin{cases} X \neq \emptyset \\ \text{pour } a, b \in X,\quad \text{ il existe } c \in X \text{ tel que } a \leq b \text{ et } b \leq c\end{cases}$
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Soit $X_{a} = \{ x \in X \mid a \leq x \}$
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on définit le filtre $\mathscr{F}$ par :
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- def $V \in \mathscr{F}$ ssi il existe $a \in X$ tq $V \supseteq X_{a}$
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> [!example] Exemples
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> - ensembles non vides totalement ordonnés
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> - $\mathbb{N}$ muni de la divisibilité
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> - $\mathcal{P}_{f}(S)$ les partifinies d'un ensemble |