cours/groupe monogène.md

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monogène

up:: sous groupe engendré #s/maths/algèbre

[!definition] groupe monogène On dit qu'un groupe G est monogène s'il est engendré par un élément : \exists g \in G,\quad G = \left\langle G \right\rangle ^definition

Propriétés

[!proposition]+ Engendrement par itération de g si G = \left\langle g \right\rangle est monogène, alors G = \{ g^{n} \mid n \in \mathbb{Z} \}

• ! Il peut y avoir des répétitions : on peut avoir n \neq m mais g^{n} = g^{m}

[!proposition]+ monogène \implies commutativité Tout groupe monogène est commutativité.

• I vient du fait qu'un groupe homogène est composé seulement de puissances d'un même élément

[!démonstration]- Démonstration Si G = \left\langle x \right\rangle, alors pour g, h \in G on a : si a, b \in \mathbb{Z} sont tels que g = x^{a} et h = x^{b} alors gh = x^{a}x^{b} = x^{a+b} = x^{b+a} = x^{b}+x^{a} = hg donc h et g commutent, et G est bien commutatif

[!proposition]+ groupes monogènes à l'isomorphisme près Soi G un groupe monogène

• Si \#G = \infty alors G \simeq \mathbb{Z}
• Si \#G = n \in \mathbb{N}^{*} alors G \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}

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• I A isomorphisme près, il y a un unique groupe monogène d'ordre n \in \mathbb{N}^{*} \cup \{ \infty \}
• = par exemple \mu _{n}(\mathbb{C}) \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}

[!démonstration]- Démonstration Soit G un groupe monogène, et soit x un générateur de G

• on suppose \#G = \infty. On considère alors l'application \begin{align} f: \mathbb{Z} &\to G\\ n &\mapsto x^{n} \end{align} Montrons que f est un morphisme de groupes : Soit (m, n) \in \mathbb{Z}^{2}, on a f(n+m) = x^{n+m} = x^{n}x^{m} = f(n)f(m) Montrons que f est injective : Puisque \#G est infini, on sait que x est d'ordre infini. Soient n \leq m \in \mathbb{Z} et tels que f(n) = f(m). On a x^{m-n} = e. Si n \neq m cela montrerait que x est d'ordre fini, on doit donc avoir n = m. De plus, f est surjective par définition d'un groupe monogène. Ainsi, f est un morphisme injectif et surjectif, c'est-à-dire un isomorphisme. Autrement dit, \mathbb{Z} \simeq G
• On suppose n := \#G \in \mathbb{N} (donc \#G fini) Soit g \in G un générateur de G Par hypothèse, \left< g \right> = G est d'ordre n, donc o(g) = n On considère : \begin{align} f : \mathbb{Z} &\to G \\ k &\mapsto g^{k }\end{align}
  • f est un morphisme car g^{k+k'} = g^{k}g^{k'}
  • f est surjetif car G = \left< g \right> = \{ g^{k} \mid k \in \mathbb{Z} \}
  • \ker f = n\mathbb{Z} car k \in \ker f \iff g^{k} = 1 \iff o(g) | k \iff n|k \iff k \in n\mathbb{Z} Ainsi, par le théorème d'isomorphisme, on a \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \simeq G

^isomorphisme-groupes-monogenes

Exemples

[!example] \mathbb{Z} \mathbb{Z} est monogène. On a même : k \in \mathbb{Z} \text{ engendre } \mathbb{Z} \iff k = \pm 1

[!démonstration]- Démonstration

• \impliedby \left\langle k \right\rangle = \{ nk \mid n \in \mathbb{Z} \} par définition d'un groupe engendré (notation additive) On a \forall n \in \mathbb{Z},\quad n = n\times 1 \in \left\langle 1 \right\rangle donc \mathbb{Z} \subseteq \left\langle 1 \right\rangle, donc \mathbb{Z} = \left\langle 1 \right\rangle et 1 engendre \mathbb{Z} De même, n = (-n)(-1) \in \left\langle -1 \right\rangle donc -1 engendre \mathbb{Z}
• \implies Si maintenant k \in \mathbb{Z} est tel que \left\langle k \right\rangle = \mathbb{Z} (k engendre \mathbb{Z}) alors 1 \in \left\langle k \right\rangle donc \exists n \in \mathbb{Z},\quad 1 = nk ainsi, k = \pm 1 car n, k \in \mathbb{Z}

[!example] \mathbb{Q} n'est pas monogène