cours/normalisateur d'une partie d'un groupe.md

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normalisateur

up:: groupe sibling:: centralisateur d'une partie d'un groupe #s/maths/algèbre

[!definition] normalisateur d'une partie d'un groupe Soit G un groupe et soit A \subseteq G L'ensemble N_{G}(A) := \{ g \in G \mid \underbrace{gA}_{\{ ga \mid a \in A \}}= \underbrace{Ag}_{\{ ag\mid a \in A \}} \} s'appelle le normalisateur de A dans G. C'est un sous groupe de G. ^definition

Propriétés

[!proposition]+ Le normalisateur et sous groupe distingué Soit G un groupe et H < G Soit N_{G}(H) est le normalisateur d'une partie d'un groupe de H dans G Alors \boxed{H \trianglelefteq N_{G}(H)} De plus, N_{G}(H) est le plus grand sous groupe de G dans lequel H est distingué

[!démonstration]- Démonstration N_{G}(H) = \{ g \in G \mid g H = Hg \} On sait que c'est un sous groupe de G.

• \forall g \in N_{G}(H),\quad g^{-1} H g = g^{-1} g H = H \subseteq H donc H \trianglelefteq N_{G}(H)
• Soit K < G tel que H \trianglelefteq K On veut montrer que K \subseteq N_{G}(H) On a H \trianglelefteq K donc \forall k \in K,\quad kH=Hk ainsi \forall k \in K,\quad k \in N_{G}(H) et donc K \subseteq N_{G}(H) ^distingue

Exemples