cours/groupe des automorphismes d'un groupe.md

up:: automorphisme de groupes, Groupe des bijections #s/maths/algèbre

[!definition] Définition Soit G un groupe On note \mathrm{Aut}(G) l'ensemble des automorphisme de G ^definition

[!definition] Définition formelle \mathrm{Aut}(G) := \{ f \in \mathrm{End}(G) \mid f \text{ est un isomorphisme} \} où \mathrm{End}(G) est l'ensemble des endomorphisme d'espaces vectoriels de G. Voir isomorphisme de groupes ^definition-formelle

Propriétés

[!proposition]+ Sous groupe de \mathrm{Bij}(G) L'ensemble \mathrm{Aut}(G) est un sous groupe de \mathrm{Bij}(G), le Groupe des bijections#^groupe-bijections de G \to G

\boxed{\mathrm{Aut}(G) < \mathrm{Bij}(G)}

[!démonstration]- Démonstration

• On a bien \mathrm{Aut}(G) \subset \mathrm{Bij}(G) puisque tous les automorphismes sont bijectifs
• On a \mathrm{id} \in \mathrm{Aut}(G), puisque \mathrm{id} \in \mathrm{Bij}(G) et \mathrm{id} \in \mathrm{End}(G)
• Si f \in \mathrm{Aut}(G) alors f est un isomorphisme, et donc f^{-1} est aussi un isomorphisme (voir isomorphisme de groupes#^isomorphisme-reciproque). On a bien f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_{\mathrm{Aut}(G)}, donc f^{-1} est bien l'inverse de f, et \mathrm{Aut}(G) est stable par inverse. de là suit que \mathrm{Aut}(G) < \mathrm{Bij}(G)

Exemples