cours/définition axiomatique de N.md

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Axiomes de Peano

• 0 \in \mathbb{N}
• si x \in \mathbb{N} alors le successeur de x, noté s(x) est dans \mathbb{N} (\forall x \in \mathbb{N}, s(x) \in \mathbb{N})
• \forall (x, y) \in \mathbb{N}^{2}, \quad s(x) = s(y) \iff x = y
• \nexists x \in \mathbb{N}, \quad s(x) = 0
• P(0) \wedge \forall n \in \mathbb{N}, (P(n) \implies P(n+1)) \quad \implies \quad \forall n \in \mathbb{N}, P(n)
  • proposition de récurrence
  • équivalent à dire que tout sous-ensemble de \mathbb{N} a un plus petit élément (\mathbb{N} est bien ordonné)

Théorie des ensembles

axiomes Zemerlo Frankel

• 0 := \emptyset
• 1 := 0 \cup \{ 0 \} = \{ 0 \}
• 2 := 1 \cup \{ 1 \} = \{ 0 \} \cup \{ 1 \} = \{ 0,1 \}
• 3 := 2 \cup \{ 2 \} = \{ 0, 1, 2 \}

Le sucesseur est défini comme s(x) = x \cup \{ x \}

On utilise l'axiome de l'infini pour définir \mathbb{N} :

!axiome de l'infini#^definition

!classe héréditaire#^definition

De plus, on a une relation d'ordre totale et d'ordre strict totale : x \geq y \iff x \subset y et x < y \iff x \in y

Avec cette définition, le principe de récurrence n'est plus un axiome, mais on le démontre : ZF démonstration du principe de récurrence

Propriétés

[!query] Sous-notes de =this.file.link

TABLE title, up as "Up", up.up as "2-Up", up.up.up as "3-Up", up.up.up.up as "4-Up"
FROM -#cours AND -#exercice AND -"daily" AND -#excalidraw AND -#MOC
WHERE econtains(list(up, up.up, up.up.up, up.up.up.up), this.file.link)
WHERE any(map([up, up.up, up.up.up, up.up.up.up], (x) => econtains(x, this.file.link)))
WHERE file.link != this.file.link
SORT up.up.up.up, up.up.up, up.up, up