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aliases:
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- noyau
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up:: [[morphisme de groupes]]
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sibling:: [[image d'un morphisme de groupes]]
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#s/maths/algèbre
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> [!definition] Définition
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> Soit $f : G \to G'$ un [[morphisme de groupes]] de [[groupe]]
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> Le **noyau** de $f$, noté $\ker(f)$ est défini par :
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> $\ker(f) := f^{-1}(1_{G'}) = \{ x \in G \mid f(x) = 1_{G'} \}$
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^definition
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```breadcrumbs
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title: "Sous-notes"
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type: tree
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collapse: false
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show-attributes: [field]
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field-groups: [downs]
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depth: [0, 1]
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```
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# Propriétés
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> [!proposition]+ injectivité et noyau
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> Soit $f : G \to G'$ un [[morphisme de groupes]]
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> $f \text{ injectif} \iff \ker f = \{ 1_{G} \}$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > - $\implies$
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> > supposons $f$ injectif
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> > On a $\{ 1_{G} \} \subseteq \ker f$, et si $x \in \ker f$ alors $f(x) = 1_{G'} = f(1_{G})$
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> > donc $x = 1_{G}$ par injectivité
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> > On conclut que $\{ 1_{G} \} = \ker f$
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> > - $\impliedby$
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> > Supposons $\ker f = \{ 1_{G} \}$
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> > Soient $x, y \in G$ tels que $f(x) = f(y)$
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> > Ainsi :
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> > $\begin{align} f(x) (f(y))^{-1} = 1_{G'} &\implies f(xy^{-1}) = 1_{G'} \\ &\implies xy^{-1} \in \ker f \\&\implies xy^{-1} = 1_{G} \\&\implies x = y \end{align}$
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> > De là suit que $f$ est injective
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^morphisme-injectif-noyau
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> [!proposition]+ le noyau est un sous groupe
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> Le noyau d'un morphisme est un [[sous groupe]] de son ensemble de départ :
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> Si $f: G \to G'$ est un morphisme, alors $\boxed{\ker f < G}$
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> [!proposition]+ sous-groupe de $G$
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> Soit $f : G \to G'$ un [[morphisme]].
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> $\boxed{\ker f < G}$
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> $\ker f$ est un [[sous-groupe]] de $G$
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# Exemples
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> [!example] Exemple 1
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> Le morphisme $\det : GL_{n}(\mathbb{C}) \to \mathbb{C}^{\times}$
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> vérifie :
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> - $\mathrm{im}(\det) = \mathbb{C}^{\times}$
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> - $\ker(\det) = SL_{n}(\mathbb{C}) = \{ M \in GL_{n}(\mathbb{C}) \mid \det M = 1 \}$
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>
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> [!example] Exemple 2
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> Le morphisme
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> $\begin{align} c : \mathbb{R}^{*} &\to \mathbb{R}^{*} \\ x &\mapsto x^{2} \end{align}$
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> vérifie :
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> - $\mathrm{im} c = \mathbb{R}_{+}^{*}$
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> - $\ker x = \{ -1; 1 \}$
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> [!example] Exemple 3
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