[!proposition]+
Soit f : \Omega \subset E \to F de classe d'une fonction \mathcal{C}^{1}
Soient x, y \in \Omega tels que [x, y] \subset \Omega
Alors on a l'inégalité des accroissements finis :
\|f(x) - f(y)\|_{F} \leq \sup\limits_{t \in [0, 1]} \|\mathrm{d}f(tx + (1-t)y)\|_{\mathscr{L}(E, F)} \|x-y\|_{E}
[!démonstration] Démonstration
On définit \varphi(t) = f(tx + (1-t)y), qui est de classe \mathcal{C}^{1} car composée de fonctions \mathcal{C}^{1}
On sait que \varphi'(t) = \mathrm{d}f(tx + (1-t)y)(x-y) (par différentielle#^differentielle-d-une-composee)
En partant de \displaystyle \varphi(1) - \varphi(0) = \int_{0}^{1} \varphi'(t) \, dt (ce qui est vrai car \varphi est de classe \mathcal{C}^{1})
On obtient :
\|f(x)-f(y)\|_{F} = \|\varphi(1)-\varphi(0)\|_{F} \leq \int_{0}^{1} \|\varphi'(t)\|_{F} \, dt \leq \int_{0}^{1} \|\mathrm{d}f(tx+ (1-t)y)\|_{\mathscr{L}(E, F)} \|x-y\| \, dt
car:
\begin{align} \forall t \in [0, 1],\quad \|\varphi'(t)\|_{F} &= \|\underbrace{\mathrm{d}f(tx+(1-t)y)}_{\in \mathscr{L}(E, F)} \underbrace{(x-y)}_{\in E}\|_{F} \\&\leq \|\mathrm{d}f(tx+(1-t)y)\|_{\mathscr{L}(E, F)} \|x - y\|_{E} \\&\leq \sup\limits_{s \in [0, 1]} \|\mathrm{d}f(sx + (1-s)y)\|_{\mathscr{L}(E, F)} \|x-y\|_{E} \end{align}
et donc :
\displaystyle \int_{0}^{1} \|\varphi'(t)\|_{F} \, dt \leq (1 - 0) \sup\limits_{s \in [0, 1]} \|\mathrm{d}f(sx + (1-s)y)\|_{\mathscr{L}(E, F)} \|x - y\|_{E}
