cours/voisinage.md

aliases, up, tags

aliases	up	tags
voisinages	structure de topologie	s/maths/topologie

[!definition] Définition Soit (E, \mathscr{T}) un structure de topologie Soit x \in E et V \subset E On dit que V est un voisinage de x si et seulement si il existe un ouvert O \in \mathscr{T} tel que x \in O et O \subset V. On note \mathcal{V}(x) l'ensemble des voisinages de x. ^definition

Propriétés

[!proposition]+ Dans (E, \mathscr{T}), soit x \in E et soit V \subset E Si V \in \mathcal{V}(x) alors x \in V

Tout voisinage de x contient x

[!proposition]+ Dans (E, \mathscr{T}), soit x \in E et soit V \subset E Toute partie de E qui contient un voisinage de x est un voisinage de x

---

\forall U, V \in \mathscr{P}(E),\quad (U \in \mathcal{V}(x) \wedge U \subset V) \implies V \in \mathcal{V}(x)

[!proposition]+ Stabilité par intersection finie Toute intersection finie de voisinages de x est un voisinage de x

---

\forall U, V \in \mathcal{V},\quad U \cap V \in \mathcal{V}(x)

[!proposition]+ Voisinages dans \mathbb{R} Dans \mathbb{R} muni des ouverts de \mathbb{R} Les parties \mathbb{Z}, \mathbb{Q} et \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} ne sont voisinage d'aucun de leurs points.

Exemples