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[!proposition]+ théorème de convergence dominée Dans l'espace mesuré (E, \mathcal{A}, \mu) Soit (f_{n}) une suite de fonctions mesurables à valeurs dans \mathbb{C} et telle que :

1. (f_{n}) converge vers f $\mu$-presque partout
2. il existe g fonction intégrable positive telle que \forall n \in \mathbb{N},\quad |f_{n}| \leq g $\mu$-presque partout

Alors, les fonctions (f_{n}) et f sont intégrables et : \displaystyle\lim\limits_{ n \to \infty } \int_{E} f_{n} \, d\mu = \int_{E} \lim\limits_{ n \to \infty } f_{n} \, d\mu = \int_{E} f \, d\mu On a même : \displaystyle \int_{E} |f_{n} - f| \, d\mu \xrightarrow{n \to \infty} 0 démonstration du théorème de convergence dominée ^theoreme

[!idea] Pour retenir Pour pouvoir permuter la limite et l'intégrale pour une suite (f_{n}) il faut :

• que les f_{n} soient mesurables
• que (f_{n}) converge $\mu$-presque partout
• que |f_{n}| \leq g $\mu$-presque partout (c'est-à-dire que f_{n} est dominée par g)

[!corollaire] Corollaire du théorème de convergence dominée Soit (f_{n})_{n} une suite de fonctions fonction mesurable de (E, \mathcal{A}, \mu) \to \mathbb{R} telle que \displaystyle \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} \int_{E} |f_{n}| \, d\mu < +\infty. Alors :

• f_{n} est intégrable pour tout n
• f = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} f_{n} converge $\mu$-presque partout vers une fonction f \in \mathscr{L}^{1} (voir fonction intégrable#^ensemble-fonction-integrables)

[!démonstration]- Démonstration Posons g = \sum\limits_{n= 0}^{+\infty} |f_{n} | \geq 0 \begin{align} \int_{E} g \, d\mu &= \int_{E} \sum\limits_{n=0}^{+\infty}|f_{n}| \, d\mu \\&= \int_{E} \lim\limits_{ N \to \infty } \sum\limits_{n=0}^{N}|f_{n}| \, d\mu \\&= \lim\limits_{ N \to \infty } \sum\limits_{n=0}^{N} \int_{E} |f_{n}| \, d\mu & \text{par le TCD} \\&= \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \int_{E} |f_{n}| \, d\mu \\&< +\infty \end{align} On applique le TCD à g_{n} = \sum\limits_{k=0}^{n}f_{k} g est intégrable, donc g est finie $\mu$-presque partout. Il existe N \in \mathcal{A} tel que \mu(N) = 0 et g(x) \in \mathbb{R}^{+} si x \notin N Posons f = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} f_{n}(x) f est bien défninie sur N^{\complement} car, sur N^{\complement}, la série est absolument convergente, et |f(x)| \leq g(x) < +\infty sur N^{\complement} On applique le TCD à g_{n} = \sum\limits_{k=0}^{n}f_{k}

Application

Pour pouvoir appliquer le théorème de convergence dominée (TCD) à f_{n}, il faut :

• montrer que f_{n} est mesurable
• montrer que f_{n} converge $\mu$-presque partout (vers f)
• majorer |f_{n}|, donc trouver g tel que |f_{n}|\leq g $\mu$-presque partout
• montrer que g est intégrable

Exemples

Exemple 2 :

\displaystyle f_{n} : x \mapsto \frac{x^{n}}{1+ x^{n+2}}\mathbb{1}_{\mathbb{R}^{+}}𝐹(x) avec n \in \mathbb{N}

hypothèse 1.

f_{n}(x) \xrightarrow{n \to +\infty} \begin{cases} 0\quad \text{si } x\leq 0\\ 0 \quad \text{si } 0 \leq x <1\\ \frac{1}{2}\quad \text{si } x = 1 \\ \frac{1}{x^{2}} \quad \text{si } x > 1 \end{cases} Donc f_{n} \to f $\lambda$-presque partout où f(x) = \frac{1}{x^{2}}\mathbb{1}_{]1; +\infty[}(x) + \frac{1}{2}\mathbb{1}_{\{ 1 \}}(x) Mais on peut ne pas considérer la fonction en 1, car \lambda(\{ 1 \}) = 0. Donc f_{n} \to f $\lambda$-presque partout où f(x) = \frac{1}{x^{2}}\mathbb{1}_{]1; +\infty[}(x)

hypothèse 2.

|f_{n}(x)| \leq \begin{cases} \frac{1}{1} \quad \text{si } x \in [0; 1] \\ \frac{x^{n}}{x^{n+2}} = \frac{1}{x^{2}} \quad \text{si } x > 1 \end{cases} On a donc : |f_{n}| \leq g où g(x) = \mathbb{1}_{[0; 1]}(x) + \frac{1}{x^{2}}\mathbb{1}_{]1; +\infty[}(x) g est nulle sur \mathbb{R}^{-}, continue par morceaux, et g(x) \underset{+\infty}{\sim} \frac{1}{x^{2}} donc g est intégrable

Conclusion

D'après le théorème de convergence dominée (TCD), f_{n} est intégrable pour tout n \in \mathbb{N}, et on a : \displaystyle \int_{\mathbb{R}^{+}} \frac{x^{n}}{1+x^{n+2}} \, \lambda(d\mu) \xrightarrow{n \to \infty} \int_{\mathbb{R}^{+}} f(x) \, \lambda(d\mu) = \int_{\mathbb{R}^{+}} \frac{1}{x^{2}} \, \lambda(d\mu) = 1

La limite des intégrales des f_{n} est bien 1 car : Soit A > 1, on a : \displaystyle\int_1^{A} \frac{1}{x^{2}} \, dx = \left[ - \frac{1}{x} \right]_{1}^{A} = 1- \frac{1}{A} \xrightarrow{A \to \infty} 1

Exemple 3 :

Soit \displaystyle f_{n}(x) = \frac{ n\sin\left( \frac{x}{n} \right)}{x^{5}} \mathbb{1}_{[1; +\infty]}(x) Pour tout n, f_{n} est continue par morceaux, donc mesurable

1. f_{n} converge

f_{n}(x) \xrightarrow{n \to \infty} \begin{cases} 0 \quad \text{si } x < 1\\ \frac{1}{x^{4}} \quad \text{si } x > 1\end{cases} Donc f_{n} \xrightarrow{n \to \infty} f $\lambda$-presque partout

2. majoration de f_{n}

|f_{n}(x)| \leq \frac{n}{x^{5}}\mathbb{1}_{[1; +\infty[}(x) car |\sin(u)| \leq 1, mais cette majoration ne fonctionnera pas, car elle dépend de n

On sait que |\sin(u)| \leq |u|, donc : \displaystyle|f_{n}(x)| \leq \frac{n| \frac{x}{n}|}{x^{5}}\mathbb{1}_{[1; +\infty[}(x) = \frac{1}{x^{4}}\mathbb{1}_{[1; +\infty[}(x) = g(x) g est intégrable

Conclusion

D'après le TCD, f_{n} est intégrable, et : \displaystyle\int_{[1; +\infty]} \frac{n \sin\left( \frac{x}{n} \right)}{x^{5}} \, \lambda(dx)