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• loi binomiale \mathcal{B}(n, p) : E(X) = n\cdot p, \sigma(X) = \sqrt{ n\cdot p\cdot (1-p) }
• loi de poisson \mathcal{P}(\lambda) : P(X=k) = \dfrac{\lambda^{k}e^{k}}{k!}, E(X) = V(X) = \lambda, \sigma(X) = \sqrt{ \lambda }
• Loi normale \mathcal{N}(\mu, \sigma) : \mathcal{N}(\mu_1, \sigma_1)+\mathcal{N}(\mu_2, \sigma_2) = \mathcal{N}\left(\mu_1+\mu_2, \sqrt{ \sigma_1^{2}+\sigma_2^{2} }\right) et \Pi \leadsto \mathcal{N}(0, 1)
• Variance : V(X) = \frac{1}{n} \sum\limits_{i}\left( \underbracket{n_{i}}_{\text{effectif}} \left( \underbracket{x_{i}}_{\text{valeur}} - \underbracket{\overline{X}}_{\text{moyenne}} \right) \right) = \overline{(X - \overline{X})^{2}}
• covariance : cov(X, Y) = \overline{X\cdot Y} - \overline{X}\cdot \overline{Y} = \sum\limits_{i}\left( \frac{(X-\overline{X})\cdot(Y-\overline{Y})}{n} \right)
• coefficient correllation linéaire : \rho(X, Y) = \frac{cov(X, Y)}{\sigma(X)\cdot\sigma(Y)} Régression par les moindres carrés : \hat{y} = a(x - \overline{X}) + \overline{Y} où a = \frac{cov(X, Y)}{V(X)} valide si 0.7 \leq |\rho(X, Y)| \leq 1 Théorème centrale limite :
• soient X_{i} des variables aléatoires obéissant à la même loi de probabilité, la somme \sum\limits_{k=0}^{n} X_{k} tend vers \mathcal{N}(n\mu, \sigma\sqrt{ n })
• APPROXIMATIONS DE LA LOI BINOMIALE
  • par la loi normale
    • Soit X \leadsto \mathcal{B}(n, p), pour n grand on à : X suit environ \mathcal{N}(E(X), \sigma(X)) = \mathcal{N}(n\cdot p, \sqrt{ n\cdot p\cdot(1-p) })
    • satisfaisant si n\cdot p \geq5 et n*(1-p) \geq 5
  • par la loi de poisson
    • quand n\cdot p < 5, l'approximation par loi normale échoue. on peut alors utiliser une loi de poisson
    • soient X \leadsto \mathcal{B}(n, p) et \lambda = n\cdot p alors P(X = k) tend vers \frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!} quand n \to +\infty, k prenant toutes les valeurs possibles : k = 1, 2, 3 \ldots
    • quand n \to +\infty, on sait que \mathcal{B}(n, p) \to \mathcal{P}(\lambda=n\cdot p)
    • valable si n \geq 30, p \leq 0.1 et \lambda=n\cdot p \leq 10
    • ⚠️ les deux lois sont discrètes, dont pas de correction de continuité
• approximation de la loi de poisson par la loi normale
  • X \leadsto \mathcal{P}(\lambda) (loi de poisson) avec \lambda \geq 10, on a \mathcal{P}(\lambda ) \approx \mathcal{N}(\lambda) pour des variables réduites
  • avec correction de continuité : P\left( a \leq \frac{X-\lambda }{\sqrt{ \lambda }} \leq b\right) = \Pi(b+0.5) - \Pi(a - 0.5)
  • exemple : si X \leadsto \mathcal{P}(\lambda=10), alors P(X \leq 6) \approx \Pi \left( \frac{6.5 - 10}{\sqrt{ 10 }} \right) Approximation par loi de poisson :
• approximation de la loi \mathcal{B}(n, p) (valable si n \geq 30, p \leq 0.1 et \lambda=n\cdot p \leq 10)
• quand n \to +\infty, on sait que \mathcal{B}(n, p) \to \mathcal{P}(\lambda=n\cdot p)
• ⚠️ les deux lois sont discrètes, dont pas de correction de continuité