cours/sous groupe distingué.md

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distingué

up:: sous groupe #s/maths/algèbre

[!definition] Définition Soit G un groupe et H < G Si \forall g \in G,\quad g H = H g, on dit que H est distingué dans $G$

• ! Cela ne veut pas dire que \forall h \in H,\quad gh = hg

On note alors H \trianglelefteq G ou H \vartriangleleft G ^definition

Propriétés

[!proposition]+ sous groupes distingués triviaux Soit G un groupe Les sous groupes \{ 1_{G} \} et G sont distingués dans G

[!démonstration]- Démonstration

• \forall g \in G,\quad g 1 g^{-1} = 1 \in \{ 1 \} donc \{ 1 \} \trianglelefteq G
• \forall (gh) \in G,\quad \forall g \in G,\quad g h g ^{-1} \in G donc G \trianglelefteq G

!centre d'un groupe#^distingue

!groupe dérivé#^distingue

[!proposition]+ Dans un abélien, tout sous groupe est distingué Soit G un groupe. Si G est groupe abélien, alors tous ses sous-groupes sont distingués.

[!démonstration]- Démonstration Cela suit immédiatement du fait que Z(G) \trianglelefteq G et que G = Z(G) quand G est abélien.

[!démonstration]- Autrement Soit G abélien et H < G \forall h \in H,\quad \forall g \in G,\quad g h g^{-1} = gg^{-1} h = h \in H car G est abélien Donc H \trianglelefteq G

[!proposition]+ Stabilité de la conjuguaison Dans un sous groupe distingué, les action par conjugaison sont stables. \begin{align} H \trianglelefteq G &\iff \forall g \in G,\quad g^{-1} H g \subseteq H \\&\iff \forall h \in H,\quad \forall g \in G,\quad g^{-1} h g \in H \end{align}

[!démonstration]- Démonstration

!normalisateur d'une partie d'un groupe#^distingue

[!proposition]+ Soit G un groupe et H < G Si [G : H] = 2 alors H \trianglelefteq G autrement dit : si \# (G / H) = \frac{\#G}{\#H} = 2 \implies H \trianglelefteq G

[!démonstration]- Démonstration Soit g \in G

• Si g \in H alors gH = H = Hg (théorème de cayley : g \in H donc h \mapsto gh est une bijection de H \to H)
• Si g \notin H On a 1 \not \equiv g car 1^{-1}g = g \notin H donc 1H = H \neq gH (1 \not \equiv g donc 1 et g sont dans des classes différentes) Ainsi, \{ H, gH \} est un sous ensemble de cardinal 2 de l'ensemble quotient G / H. Par hypothèse, \#(G/ H) = 2, donc G / H = \{H, gH \} Donc, \boxed{G = H \sqcup gH} De même, H \neq Hg et donc H \backslash G = \{ H, Hg \} Donc, \boxed{G = H \sqcup Hg} Les deux égalités encadrées donnent (puisque les réunions sont disjointes) : \boxed{gH = Hg}

Ainsi, dans tous les cas on a gH = Hg, autrement dit H \trianglelefteq G

[!proposition]+ Théorème de correspondance des sous Groupes Soit G un groupe, et H \trianglelefteq G Soit \pi : G \to G /H la projection canonique L'application : \begin{align} \left\{ \text{sous groupes (distingués) de G qui sont} \supseteq H \right\} &\to \{ \text{sous-groupes (distingués) de } G/H \} \\ K &\mapsto \pi(K)\end{align} est une bijection croissante (pour l'inclusion), d'inverse \pi ^{-1}(K) \mapsfrom K

• i \pi est surjective, donc si K \trianglelefteq G alors \pi(K) \trianglelefteq G /H

[!example]- Exemple Considérons les sous groupes de \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} d'après le théorème, l'ensemble de ces sous-groupes est en bijection avec l'ensemble des sous-groupes de \mathbb{Z} qui sont \supseteq 6\mathbb{Z}. On sait que les sous groupes de \mathbb{Z} sont de la forme n\mathbb{Z} avec n\geq 0 et n\mathbb{Z} \supseteq 6\mathbb{Z}, donc n|6. L'ensemble des sous groupes de \mathbb{Z} / 6\mathbb{Z} est dont \simeq \{ 1, 2, 3, 6 \} Ces sous groupes sont donc :

• \pi(\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}
• \pi(2\mathbb{Z})= 2\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}
• \pi(3\mathbb{Z}) = 3\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}
• \pi(6\mathbb{Z}) = 6\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}

!théorème de factorisation des morphismes#^theorem

!théorème d'isomorphisme#^theoreme

Exemples

[!example] Exemple 1 Le groupe alterné \mathfrak{A}_{n} est distingué dans \mathfrak{S}_{n} En effet, \forall \zeta \in \mathfrak{A}_{n},\quad \forall \sigma \in \mathfrak{S}_{n} \varepsilon(\sigma ^{-1} \zeta \sigma) = \cancel{\varepsilon(\sigma)^{-1}} \varepsilon(\zeta) \cancel{\varepsilon(\sigma)^{-1}} = \varepsilon(\zeta) = 1 Donc \sigma ^{-1} \zeta \sigma \in \mathfrak{A}_{n}

[!fail] Contre-exemple Tous les sous-groupes des \mathfrak{S}_{n} ne sont pas distingués. Par exemple, pour n \geq 3, le sous-groupe \left< (1, 2) \right> n'est pas distingué dans \mathfrak{S}_{n}. En effet : (1, 3)(1, 2)(1, 3)^{-1} = (3, 2) \notin \left< (1, 2) \right>

[!example] Exemple 2 Dans G := GL_{2}(\mathbb{R}) T := \left\{ \begin{pmatrix}\lambda&x\\0&\mu\end{pmatrix} \middle| \substack{\lambda, \mu \in \mathbb{R}^{*}\\ x \in \mathbb{R}} \right\} U := \left\{ \begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix} \middle| x \in \mathbb{R} \right\}