cours/sous groupe de Young.md

up:: partition d'un entier #s/maths/algèbre

[!definition] Définition Soit n \in \mathbb{N} Soit \underline{n} = [\![1; n]\!] Soit \lambda \vDash n une partition d'un entier de n de longueur m \lambda définit une partition de \underline{n} en ensembles disjoints que l'on notera \underline{n}^{\lambda} \underline{n}^{\lambda}_{i} = \left\{ x \in \underline{n} \middle| \sum\limits_{\nu=1}^{i-1} \lambda _{\nu} < x \leq \sum\limits_{\nu=1}^{i} \lambda _{\nu} \right\},\quad i=1,\dots,m où \underline{n}^{\lambda}_{i} contient \lambda _{i} éléments : \#\underline{n}^{\lambda}_{i} = \lambda _{i} On a bien : \displaystyle \underline{n} =\bigsqcup _{i=1}^{m}\underline{n}^{\lambda}_{i} On définit alors le sous groupe de Young de \mathfrak{S}_{n} associé à \lambda comme : \displaystyle \mathfrak{S}_{\lambda} := \prod\limits_{i=1}^{m} \mathfrak{S}_{\underline{n}^{\lambda}_{i}} Où \mathfrak{S}_{\underline{n}^{\lambda}_{i}} est l'ensemble des permutations sur \underline{n}^{\lambda}_{i} et où \prod est le produit direct de groupes ^definition

Propriétés

Exemples