cours/somme d'espaces vectoriels.md

alias

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somme

up:: sous espace vectoriel title::"$E_{1}+E_{2} = { u_{1}+u_{2} \mid u_{1}\in E_{1} \wedge u_{2} \in E_{2} }$" #s/maths/algèbre

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[!definition] somme d'espaces vectoriels Soient E_{1} et E_{2} deux sous espace vectoriel d'un espace vectoriel E La somme E_{1}+E_{2} est l'ensemble des sommes d'un vecteur de E_{1} et d'un vecteur de E_2

\boxed{E_{1}+E_{2} = \big\{ u_{1} + u_{2} \mid u_{1}\in E_{1} \wedge u_{2} \in E_{2}\big\}}

Cette somme est un sous espace vectoriel de E

[!info] remarque Puisque E_1 et E_2 sont des espace vectoriel, on sait que u_1 \in E_1 \implies \lambda u_1 \in E_1 et u_2 \in E_2 \implies \gamma u_2 \in E_2, donc E_1 + E_2 est l'ensemble des combinaison linéaire de vecteurs de E_1 et $E_2$

^definition

Propriétés

• \dim (F+G) = \dim(F) + \dim(G) - \dim(F \cap G)
  • on retire \dim(F\cap G) pour ne pas compter deux fois l'intersection