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racine racines	polynôme	#s/maths/analyse

[!definition] Définition Soit K un corps Soit P \in K[X] un polynôme a est une racine de multiplicité $k \in \mathbb{N}^{*}$ (ou d'ordre k) de P si : \begin{cases} (X - a)^{k} \mid P \\ (X - a)^{k+1} \nmid P \end{cases} ^definition

[!definition] Les racines d'un polynôme P sont les valeurs r telles que P(r) = 0 L'ensemble des racines du polynôme P défini sur I est donc \{r\in I| P(r) = 0\}

[!definition] ordre d'une racine d'un polynôme Soit P un polynôme Soit r une racines d'un polynôme de P l'ordre de r est le plus grand n tel que r est une racine de P^{(n-1)} (dérivées successives) C'est aussi le plus petit n tel que P^{(n)}(r) \neq 0 Sous forme factorisée, c'est la puissance du terme qui s'annule en r ^definition

[!definition] Soit P un polynôme de polynôme#Degré n On sait que P(x) = \prod\limits_{k=0}^{n} (x - a_{k}) (forme factorisée) Où a_k une suite dont les valeurs sont les racines d'un polynôme de P

Une racine r est de multiplicité m si elle apparaît exactement m fois dans les coefficients a_{k} (pour k\in[\![1;n]\!]) Soit si elle apparaît m fois dans la factorisation de P

Propriétés

[!proposition]+ Racine simple Une racine est simple ssi sa multiplicité est 1

[!proposition]+ théorème de d'Alembert-Gauss

[!proposition]+ Dérivation Soit r une racine du polynôme P La racine r est de multiplicité d'une racine n si et seulement si r est aussi racine de la dérivées successives de P :

r \text{ est de multiplicité } n \iff P^{(n)}(r)=0

On peut utiliser cette propriété pour trouver la multiplicité d'une racine