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groupe	produit direct de groupes abéliens	#s/maths/algèbre

[!definition] produit direct de groupes Soient (G, *_{G}) et (H, *_{H}) deux groupe L'ensemble G \times H = \{ (g, h) \mid g \in G \wedge h \in H \} muni de la loi * définie par (g, h) * (g', h') = (g*_{G}g', h*_{H}h') est tel que (G\times H, *) est aussi un groupe

• dont le neutre est e_{G\times H} = (e_{G}, e_{H})
• dans lequel l'inverse de (g, h) \in G\times H est (g, h)^{-1} = (g^{-1}, h^{-1}) démonstration le produit de groupes reste un groupe ^definition

[!idea] Intuition Le produit cartésien préserve la structure de groupe

[!info] Groupe puissance Soit G un groupe On definit par récurrence le groupe G^{n} = \underbrace{G \times \cdots \times G}_{n \text{ fois}}

Exemples

[!example] \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mu _{4}(\mathbb{C}) \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mu _{4}(\mathbb{C}) est un groupe pour la loi * suivante : (\overline{k}, \zeta)*(\overline{k'}, \zeta') = (\overline{k}+\overline{k'}, \zeta \zeta')

Note : \mu _{4}(\mathbb{C}) = \{ -1; 1; -i; i \}

[!example] \mathbb{R}^{*}\times \mathbb{R} \mathbb{R}^{*}\times \mathbb{R} est un groupe pour la loi * donnée par : (a, b)*(a', b') = (aa', b+b')