cours/produit d'espaces vectoriels normés.md

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	espace vectoriel normé	#s/maths/algèbre #s/maths/topologie

[!definition] Définition Soient (E_{i}, \mathcal{N}_{i}) pour 1 \leq i \leq n des espace vectoriel normé Soit E = E_1 \times E_2 \times \cdots \times E_{n} = \prod\limits_{i=1}^{n} E_{i} le produit de ces espaces vectoriels On définit pour p \geq 1 la norme : \begin{align} \|\cdot\|_{p} : \prod\limits_{i=1}^{n} E_{i} &\to \mathbb{R}^{+} \\ X &\mapsto \left( \sum\limits_{k=1}^{n} \mathcal{N}_{k}(x_{k})^{p} \right)^{\frac{1}{p}} \end{align} Ainsi que la norme : \begin{align} \|\cdot\|_{\infty} : \prod\limits_{i=1}^{n}E_{i} &\to \mathbb{R}^{+} \\ X &\mapsto \max_{1\leq k \leq n} \mathcal{N}_{k}(X) \end{align}

Ainsi on peut donner une structure d'espace vectoriel normé à un produit d'espaces vectoriels normés. ^definition

Propriétés

Exemples