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	mesure de probabilité	s/maths/probabilités

[!definition] Définition Soit (\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}) un espace probabilisé Soient A, B \in \mathcal{A} tels que \mathbb{P}(B) > 0 On note : \mathbb{P}(A \mid B) = \dfrac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)} ^definition

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Propriétés

[!proposition]+ Si B \in \mathcal{A} avec \mathbb{P}(B) > 0 L'application \begin{align} \mathbb{P}(\cdot \mid B) : \mathcal{A} &\to [0, 1] \\ A &\mapsto \mathbb{P}(A\mid B) \end{align} est une mesure de probabilité sur (\Omega, \mathcal{A})

[!démonstration]- Démonstration fixons B \in \mathcal{A} avec \mathbb{P}(B) > 0

1. \forall A \in \mathcal{A} on a A \cap B \subset B donc 0 \leq \mathbb{P}(A \cap B) \leq \mathbb{P}(B) et donc 0 \leq \dfrac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)} \leq 1 c'est-à-dire que 0 \leq \mathbb{P}(A \mid B) \leq 1
2. \mathbb{P}(\Omega \mid B) = \dfrac{\mathbb{P}(\Omega \cap B)}{\mathbb{P(B)}} = \dfrac{\mathbb{P}(B)}{\mathbb{P}(B)} = 1
3. Soit (A_{i})_{i \geq 1} \in \mathcal{A}^{\mathbb{N}} deux à deux disjoints \begin{align} \mathbb{P}\left( \bigcap _{i \geq 1} A_{i} \middle| B \right) &= \frac{\mathbb{P}\left( \left( \bigcap _{i \geq 1} A_{i} \right) \cap B \right)}{\mathbb{P}(B)} \\&= \frac{\mathbb{P}\left( \bigcup _{i \geq 1} (A_{i} \cap B) \right)}{\mathbb{P}(B)} \\&= \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{\mathbb{P}(A_{i}\cap B)}{\mathbb{P}(B)} & \text{car les } (A_{i} \cap B)_{i\geq 1} \text{ sont 2 à 2 disjoints} \\&= \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \mathbb{P}(A_{i} | B)\end{align}

[!proposition]+ Formule des probabilités totales Soit A \in \mathcal{A} Soit (B_{i})_{i \in I} un système complet d'événements \begin{align} \mathbb{P}(A) &= \sum\limits_{i \in I} \mathbb{P}(A \cap B_{i}) \\&= \sum\limits_{i \in I} \mathbb{P}(A \mid B_{i}) \mathbb{P}(B_{i}) \end{align}

[!démonstration]- Démonstration \mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(A \cap \Omega) = \mathbb{P}\left( A \cap \left( \bigcup _{i \in I} B_{i} \right) \right) = \mathbb{P}\left( \bigcup _{i \in I} (A \cap B_{i}) \right) = \sum\limits_{i \in I} \mathbb{P}(A \cap B_{i})

Exemples