cours/polynômes associés.md

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associé associés	polynôme	s/maths/algèbre

[!definition] Définition Soit A un anneau Soient P, Q \in A[X] deux polynôme On dit que P et Q sont associés si : \boxed{\exists a \in A^{*},\quad P = aQ} (où A^{*} est l'ensemble des éléments inversibles d'un anneau de A) ^definition

[!idea] intuition Deux polynômes sont associés si ils sont liés par un facteur qui est aussi un inversible (dans son anneau)

Propriétés

[!proposition]+ La relation "être associé" est une relation d'équivalence

[!proposition]+ Un polynôme P \neq 0 est associé à un unique polynôme unitaire

Exemples

[!example] Dans \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}[X] Soient P = \overline{5}X + \overline{3} et Q = -X + \overline{5} alors P et Q sont associés car : \overline{4} P = Q (et car \overline{4} est inversible dans \mathbb{Z}/7\mathbb{Z})