cours/noyau d'un morphisme de groupes.md

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noyau

up:: morphisme de groupes sibling:: image d'un morphisme de groupes #s/maths/algèbre

[!definition] Définition Soit f : G \to G' un morphisme de groupes de groupe Le noyau de f, noté \ker(f) est défini par : \ker(f) := f^{-1}(1_{G'}) = \{ x \in G \mid f(x) = 1_{G'} \} ^definition

title: "Sous-notes"
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Propriétés

[!proposition]+ injectivité et noyau Soit f : G \to G' un morphisme de groupes f \text{ injectif} \iff \ker f = \{ 1_{G} \}

[!démonstration]- Démonstration

• \implies supposons f injectif On a \{ 1_{G} \} \subseteq \ker f, et si x \in \ker f alors f(x) = 1_{G'} = f(1_{G}) donc x = 1_{G} par injectivité On conclut que \{ 1_{G} \} = \ker f
• \impliedby Supposons \ker f = \{ 1_{G} \} Soient x, y \in G tels que f(x) = f(y) Ainsi : \begin{align} f(x) (f(y))^{-1} = 1_{G'} &\implies f(xy^{-1}) = 1_{G'} \\ &\implies xy^{-1} \in \ker f \\&\implies xy^{-1} = 1_{G} \\&\implies x = y \end{align} De là suit que f est injective ^morphisme-injectif-noyau

[!proposition]+ le noyau est un sous groupe Le noyau d'un morphisme est un sous groupe de son ensemble de départ : Si f: G \to G' est un morphisme, alors \boxed{\ker f < G}

Exemples

[!example] Exemple 1 Le morphisme \det : GL_{n}(\mathbb{C}) \to \mathbb{C}^{\times} vérifie :

• \mathrm{im}(\det) = \mathbb{C}^{\times}
• \ker(\det) = SL_{n}(\mathbb{C}) = \{ M \in GL_{n}(\mathbb{C}) \mid \det M = 1 \}

[!example] Exemple 2 Le morphisme \begin{align} c : \mathbb{R}^{*} &\to \mathbb{R}^{*} \\ x &\mapsto x^{2} \end{align} vérifie :

• \mathrm{im} c = \mathbb{R}_{+}^{*}
• \ker x = \{ -1; 1 \}

[!example] Exemple 3