cours/mesure de probabilité.md

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mesures de probabilités

up:: mesure positive d'une application, espace probabilisé sibling:: loi de probabilités #s/maths/intégration

[!definition] mesure de probabilité Soit (E, \mathcal{A}) un espace mesurable \mu est une mesure de probabilité sur E si :

• \mu est positive
• \mu(E) = 1 ^definition

title: "Sous-notes"
type: tree
collapse: false
show-attributes: [field]
field-groups: [downs]
depth: [0, 0]

Propriétés

[!proposition]+ Propriétés ensemblistes Soit (\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}) un espace probabilisé \forall A, B \in \mathcal{A}

• \mathbb{P}(\emptyset) = 0
• A \cap B = \emptyset \implies \mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B)
• \mathbb{P}(A^{\complement}) = 1 - \mathbb{P}(A)
• A \subset B \implies \mathbb{P}(A) \leq \mathbb{P}(B)
• \mathbb{P}(A \setminus B) = \mathbb{P}(A) - \mathbb{P}(A \cap B)

[!proposition]+ Probabilité d'une union Soit (\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}) un espace probabilisé \forall A, B \in \mathcal{A}

• \mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B) \forall A, B, C \in \mathcal{A}
• \mathbb{P}(A \cup B \cup C) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) + \mathbb{P}(C) - \mathbb{P}(A \cap B) - \mathbb{P}(A \cap C) - \mathbb{P}(B \cap C) + \mathbb{P}(A \cap B \cap C) \forall A_1, A_2, \dots, A_{n} \in \mathcal{A}
• \displaystyle \mathbb{P}\left( \bigcup _{i = 1}^{n} A_{i} \right) = \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} \sum\limits_{1 \leq i_1 < i_2 < \dots < i_{k} \leq n} \mathbb{P}(A_{i_{1}} \cap \cdots \cap A_{i_{k}})

[!proposition]+ continuité séquentielle monotone Soit (\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}) un espace probabilisé Si (A_{n}) \in \mathcal{A}^{\mathbb{N}} est une suite croissante, i.e. \forall n\geq 0,\quad A_{n} \subset A_{n+1} Alors (\mathbb{P}(A_{n}))_{n \geq 0} suite convergente et : \lim\limits_{ n \to \infty } \mathbb{P}(A_{n}) = \mathbb{P} \left( \bigcup _{n \geq 0} A_{n} \right)

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Si (B_{n})_{n \geq 0} \in \mathcal{A}^{\mathbb{N}} est décroissante, i.e. \forall n \geq 0,\quad B_{n+1} \subset B_{n} Alors (\mathbb{P}(B_{n}))_{n \geq 0} suite convergente et : \lim\limits_{ n \to \infty }\mathbb{P}(B_{n}) = \mathbb{P}\left( \bigcap_{n\geq 0} B_{n} \right)

Exemples