cours/intérieur d'un espace métrique.md

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intérieur	espace métrique	adhérence d'un espace métrique	#s/maths/topologie

[!definition] intérieur d'un espace métrique Soit (X, d) un espace métrique et A \subset X une partie quelconque de X Il existe un (unique) plus grand ouvert \mathring{A} parmi tous les ouverts contenus dans A. On l'appelle intérieur de A ^definition

[!definition]+ Autre définition \mathring{A} = \{ x \in A \mid \exists r>0,\quad B(x, r) \subset A \}

• I l'ensemble des points de A qui ont un voisinage dans A

!intérieur et extérieur d'un espace métrique.excalidraw

[!démonstration]- Démonstration de l'équivalence On procède par double inclusion. Si x \in \mathring{A}, comme \mathring{A} est ouvert, il existe r > 0 tel que B(x, r) \subset \mathring{A} et, comme \mathring{A} \subset A, on a donc B(x, r) \subset A D'où \mathring{A} \subset \{ x \in A \mid \exists r>0,\quad B(x, r) \subset A \} Montrons l'inclusion inverse. Soit x \in \{ \cdots \} on veut montrer que x \in \mathring{A} on a x \in B(x, r) \subset A en particulier, B(x, r) \subset \mathring{A} donc x \in \mathring{A} Ce qui montre \mathring{A} = \{ x \in A \mid \exists r>0,\quad B(x, r) \subset A \}

Propriétés

[!proposition]+ Existance et unicité Soit (X, d) un espace métrique et A \subset X \mathring{A} l'intérieur de A existe et est unique.

[!démonstration]- Démonstration \displaystyle\mathring{A} = \bigcup _{\substack{V \text{ ouvert}\\ V \subset A}} Donc \mathring{A} est le plus grand ouvert contenu dans A. On peut toujours trouver un V ouvert tel que V \subset A, car A est un tel ouvert

[!proposition]+ Lien avec l'adhérence d'un espace métrique Sur l'espace métrique (X, d) :

• \mathring{A} = \left( \overline{A^{\complement} }\right)^{\complement} autrement dit \mathring{A} = X \setminus \left( \overline{X \setminus A} \right)
  • \mathring{A} est le complémentaire de l'intérieur de X \setminus A
• \overline{A} = {( \mathring{\overparen{A^{\complement}}} )}^{\complement} \bar{A} = X \setminus \mathring{\overparen{(X \setminus A)}}

C'est un principe du parapluie : \mathring{\cdot} = \complement \circ \overline{\cdot} \circ \complement (car le complémentaire est sson propr inverse)

[!démonstration]- Démonstration Si U est ouvert avec U \subset A X \setminus U est un fermé, et X \setminus A \subset X \setminus U en particulier, si U = \mathring{A}, alors X \setminus \mathring{A} est un fermé qui contient X \setminus A : X \setminus \mathring{A} \supset \overline{X \setminus A} A l'inverse, \overline{X \setminus A} est un fermé qui contient X \setminus A. X \setminus \overline{X \setminus A} est un ouvert contenu dans A. Donc X \setminus \overline{X \setminus A} \subset \mathring{A} On a donc bien X \setminus \mathring{A} = \overline{X \setminus A} L'autre formule X \setminus \overline{B} = \mathring{\overparen{X \setminus B}} s'en déduit, en prenant B = X \setminus A

[!proposition]+ Lien avec l'partie ouverte d'un espace métrique A est ouvert \iff A = \mathring{A}

Exemples

[!example] \mathbb{Q} est d'intérieur vide dans \mathbb{R} Soit x \in \mathbb{Q}, on veut voir que \forall r > 0,\quad B(x, r) \not\subset \mathbb{Q} Prenons x_{n}= x + \frac{\sqrt{ 2 }}{n} Comme x \in \mathbb{Q}, on a x_{n} \notin \mathbb{Q}, mais x_{n} \xrightarrow{n \to +\infty} x S'il existant r>0,\quad B(x, r) \subset \mathbb{Q} on aurait, si n assez grand, x_{n} \in B(x, r), donc x_{n} \in \mathbb{Q} C'est absurde, donc \forall r > 0,\quad B(x, r) \not\subset \mathbb{Q}. Alors, on sait que \mathring{\mathbb{Q}} = \emptyset