cours/idéaux d'un anneau.md

aliases, up, tags

aliases	up	tags
idéaux idéal	anneau	s/maths/algèbre

[!definition] Définition Soit (A, +, \times) un anneau I \subset A est un idéal de $A$ si :

• I est un sous groupe de (A, +)
• I est ensemble absorbant : \forall i \in I,\quad \forall a \in A,\quad \begin{cases} a\cdot i \in I\\ i \cdot a \in I \end{cases} ^definition

[!definition] Définition - idéal à gauche Soit (A, +, \times) un anneau I \subset A est un idéal à droite de $A$ si :

• I est un sous groupe de (A, +)
• I est ensemble absorbant : \forall i \in I,\quad \forall a \in A,\quad a \cdot i \in I ^definition-a-gauche

[!definition] Définition - idéal à droite Soit (A, +, \times) un anneau I \subset A est un idéal à droite de $A$ si :

• I est un sous groupe de (A, +)
• I est ensemble absorbant : \forall i \in I,\quad \forall a \in A,\quad i \cdot a \in I ^definition-a-droite

title: "Sous-notes"
type: tree
collapse: false
show-attributes: [field]
field-groups: [downs]
depth: [0, 0]

Propriétés

[!proposition]+ Soit I idéal d'un anneau A Supposons qu'il existe p \in I tel que p est inversible dans A alors I = A

[!démonstration]- Démonstration Soit I idéal de A Soit p \in I inversible dans A Alors : \forall a \in A a = \underbracket{a p ^{-1}}_{\in A} \underbracket{p}_{ \in I} or I est ensemble absorbant donc a \in I Ainsi I \subset A, or on a A \subset I par définition, donc : I = A

[!proposition]+ union et somme d'idéaux Soient I et J des idéaux d'un anneau A Alors :

• I \cap J est un idéal de A
• I + J est un idéal de A
• ! A \cup J n'est pas un idéal de A

!corps#^ideaux-dun-corps

Exemples