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	bijection application continue	s/maths/analyse s/maths/topologie

[!definition] Définition Soient A \subset E et A' \subset F deux ensembles On dit que f : A \to A' est un homéomorphisme si :

• f est bijection
• f est application continue
• f^{-1} (la application réciproque de f) est application continue ^definition

Propriétés

[!proposition]+ Soit f : K \to K' une bijection et application continue sur un espace métrique compact K Alors f est un homéomorphisme de K sur K' Et K' est également compact.

[!démonstration]- Démonstration Le fait que K' soit compact découle de :

• la compacité de K
• la continuité de f
• la surjectivité de f

On veut maintenant montrer que f^{-1} est continue. Soit y \in K' et soit (y_{n})_{n \in \mathbb{N}} \in K'^{\mathbb{N}} avec y_{n} \xrightarrow{n \to \infty} y On veut montrer que la suite (x_{n}) définie par x_{n} = f^{-1}(y_{n}), converge vers x := f^{-1}(y) Comme les x_{n} appartiennent à K qui est compact, la suite (x_{n}) admet une sous-suite convergent, c'est-à-dire : \exists \varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N} \text{ strictement croissante },\quad \exists l \in K,\quad x_{\varphi(n)} \xrightarrow{n \to \infty} l Or : y_{\varphi(n)} \xrightarrow{n \to \infty} y car y_{n} \xrightarrow{n \to \infty} y ainsi y_{\varphi(n)} = f(x_{\varphi(n)}) \xrightarrow{n \to \infty} f(l) car x_{\varphi(n)} \xrightarrow{n \to \infty} x et f est continue Donc, par unicité de la limite, on a f(l) = y, on encore l = f^{-1}(y) c'est-à-dire l = x

On a montré que x est valeur d'adhérence de (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} et même que c'est sa seule valeur d'adhérence. Donc, comme K est compact, la suite x_{n} converge tout entière vers cette unique valeur d'adhérence x

Supposons par l'absurde que la suite (x_{n}) ne converge pas vers x, càd. : \exists \varepsilon >0,\quad \forall N \in \mathbb{N},\quad \|x_{p} - x\| \geq \varepsilon Autrement dit, \exists \varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N} \text{ strictement croissante },\quad \forall n \in \mathbb{N},\quad \|x_{\varphi(n)} - x\| \geq \varepsilon Comme (x_{\varphi(n)}) \subset K compact, je peux extraire de (x_{\varphi(n)}) une sous-suite (x_{\varphi \circ \psi(n)}) convergente. Or, (x_{\varphi \circ \psi(n)})_{n \in \mathbb{N}} est une sous suite de (x_{n})_{n \in \mathbb{N}}, donc sa limite ne peut être que x, ce qui contrdit le fait que \forall n \in \mathbb{N},\quad \|x_{\varphi \circ \psi(n)}\| \geq \varepsilon > 0.

[!proposition]+ différentielle d'un homéomorphisme Soient \Omega \subset E et \Omega' \subset F deux partie ouverte d'un espace métrique Soit f: \Omega \to \Omega' un homéomorphisme Soient x \in \Omega et y \in \Omega' deux points tels que y = f(x) Si \mathrm{d}f(x) et \mathrm{d}f^{-1}(y) existent Alors \mathrm{d}f(x) est inversible, et on a : ( \mathrm{d}f(x))^{-1} = \mathrm{d}f^{-1}(f(x))

Exemples