cours/formules de Taylor.md

up::développement limité title::"$\displaystyle f(x_{0}) = \sum_{k=0}^{n} \left( \frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}\cdot(x-x_{0})^{k} \right)$" #s/maths/analyse

---

Formules pour calculer la décomposition en série entière d'une fonction, et son développement limité.

Formule de Taylor pour les polynômes

Soit P un polynôme, a un réel, n un entier tel que n\geq deg(P) Alors : \boxed{ P(a) = \sum_{k=0}^n \left( \dfrac{p^{(k)}(a)}{k!}\cdot(x-a)^k \right) }

Exemple

P(x) = 3x^4 + 5x^3 - 4x^2 + x - 7 a = 2, n = 4 D'après la formule de Taylor :

P(x) = \dfrac{P^{(0)}(2)}{0!}(1-2)^0 + \dfrac{P^{(1)}(2)}{1!}(x-2)^1 + \dfrac{P^{(2)}(2)}{2!}(x-2)^2 + \dfrac{P^{(3)}(2)}{3!}(x-2)^3 + \dfrac{P^{(4)}(2)}{4!}(x-2)^4

• P^{(0)}(x) = P(x) = 3x^4 + 5x^3 - 4x^2 + x - 7
• P^{(1)}(x) = 12x^3 + 15x^2 - 8x + 1
• P^{(2)}(x) = 36x^2 + 30x - 8
• P^{(3)}(x) = 72x + 30
• P^{(4)}(x)=72
• P^{(n)}(x) = 0 pour n\geq5

P(a)

Formule de Taylor Lagrange

Soit [a; b] un intervalle de \mathbb R, a<b, et soit f une fonction définie sur [a; b] :

• de classe C^n sur [a;b] (voir classe d'une fonction)
• telle que f^{(n+1)} existe sur ]a; b[

Alors, il existe c\in]a;b[ tel que :

f(b) = f(a)+\dfrac{f^{(1)}(a)}{1!}(b-a) + \dfrac{f^{(2)}(a)}{2!}(b-a)^2 + \ldots + \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(b-a)^n + \underbrace{\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(b-a)^{n+1}}_{\text{reste de Lagrange}}

Soit : $$f(b) = \underbrace{\sum_{k=0}^n \left(\dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k\right)}_{\text{partie régulière}}

• \underbrace{\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(b-a)^{n+1}}_{\text{reste de Lagrange}}$$

Formule de Mac-Laurin (cas particulier)

Dans le cas particulier où a=0 $$f(x) = \underbrace{f(0)

• \dfrac{f^{(1)}(0)}{1!}x
• \dfrac{f^{(2)}(0)}{2!}x^2
• \ldots
• \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n}_{\text{partie régulière}}
• \underbrace{\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}x^{n+1}}_{\text{reste de Taylor}}$$

Formule de Taylor-Young

A l'ordre n, au voisinage de x_0 : Soient f une fonction définie sur un intervalle I, n\in\mathbb N^*, x_0\in I; On suppose que f est de classe d'une fonction C^{n-1} sur I et que f^{(n)}(x_0) existe. Alors : Il existe une fonction \varepsilon définie sur I telle que : \boxed{\displaystyle f(x) = \sum_{k=0}^n \left(\dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k\right)+(x-x_0)^n\varepsilon(x)} avec \displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0} \varepsilon(x) = 0.