cours/fonction négligeable devant une autre.md

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2022-09-20	28	272	négligeable négligeabilité fonction négligeable	fonction	fonction dominée en un point fonctions équivalentes	#s/maths/analyse

[!definition] fonction négligeable Soient deux fonctions f et g, on dit que f est négligable devant g en $x_0\in\overline{\mathbb{R}}$, et on note f=_{x_{0}}o(g) : \displaystyle f = o_{x_{0}}(g) \iff \lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 ^definition

[!définition] fonction négligeable - autre définition

f = o_{x_{0}}(g) si il existe h telle que :

• \lim\limits_{x_{0}} h = 0
• f = hg ^definition-alternative

[!définition] fonction négligeable - définition formelle f = o_{x_{0}}(g) \iff \forall \varepsilon>0, \forall b \in \mathbb{R}, \forall x \in X, x \geq b \implies |f(x)| \leq \varepsilon|g(x)| démonstration formule négligeabilité avec epsilon ^definition-avec-epsilon

[!definition] fonction négligeable - définition sur des espaces vectoriels Soient E et F des espace vectoriel, et \|\cdot\| une norme sur E Soit g : E \to F Soit a \in E On dit que g(h) = \underset{h \to a}{o}(\|h\|) si : \lim\limits_{ h \to a } \frac{g(h)}{\|h\|} = 0

^definition-espaces-vectoriels

Propriétés

• f = o(g) \implies f = O(g)

  • où O désigne la fonction dominée en un point

• Si f = o_{+\infty}(g) et h = o_{+\infty}(g), alors \lambda f + \mu h = o_{+\infty}(g) ((\lambda, \mu) \in \mathbb{C}^{2})

  • stable par combinaison linéaire

• o(1) = \varepsilon(x) car \lim \frac{o(1)}{1} = 0 donc \lim o(1) = 0

• f \sim_{x_{0}} g \iff f = g+o_{x_{0}}(g) (démonstration correspondance équivalence et domination)