cours/fonction de classe C¹.md

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fonction dérivable de dérivée continue fonction de dérivée continue	classe d'une fonction	s/maths/analyse

[!definition] Définition On dit qu'une fonction f : \Omega \to F est de classe \mathscr{C}^{1} si elle est fonction différentiable en tout point x \in \Omega et si l'application x \mapsto \mathrm{d}f(x) est application continue de \Omega dans \mathscr{L}(E, F) l'espace vectoriel des applications linéaires ^definition-differentielles

Propriétés

[!proposition]+ Les applications linéaires sont de classe \mathscr{C}^{1} Si f : E \to F est application linéaire, alors elle est de classe \mathscr{C}^{1}

[!démonstration]- Démonstration En effet, on sait que toute application linéaire est fonction différentiable en tout x \in E, et on sait que \mathrm{d}f(x)(h) = f(h) car f est linéaire. Donc : \begin{align} \mathrm{d}f : E \to \mathscr{L}(E, F) \\ x \mapsto f \end{align} qui est clairement application continue puisqu'elle est constante.

[!proposition]+ Stabilité par composition Soit f : \Omega \to F Soit g : \Omega' \to G où \Omega' est un partie ouverte d'un espace métrique de F contenant f(\Omega) Si f et g sont de classe \mathscr{C}^{1} alors g \circ f est également de classe \mathscr{C}^{1}

[!démonstration]- Démonstration On suppose que f et g sont dans \mathscr{C}^{1} donc, en particulier, elles sont différentiables en tout point respectivement de \Omega et \Omega'. On a, \forall x \in \Omega ,\quad \mathrm{d}(g \circ f)(x) = \mathrm{d}g(f(x)) \circ \mathrm{d}f(x) g \circ f est bien différentiable en tout point de \Omega Reste à vérifier que \begin{align} \mathrm{d}(g \circ f) : \Omega &\to \mathscr{L}(E, G) \\ x &\mapsto \mathrm{d}(g \circ f)(x) \end{align} est continue (en sachant par hypothèse que les fonctions \mathrm{d}g : \Omega' \to \mathscr{L}(F, G) et \mathrm{d}f : \Omega \to \mathscr{L}(E, F)) Soit x \in \Omega et soit (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} \in \Omega^{\mathbb{N}} telle que \|x_{n} - x\|_{E} \xrightarrow{n \to +\infty} 0 On calcule alors : $$\begin{align} |\mathrm{d}(g \circ f)(x_{n}) - \mathrm{d}(g \circ f)(x)|{\mathscr{L}(E, G)} &= |\mathrm{d}g(f(x_n)) \circ \mathrm{d}f(x_n) - \mathrm{d}g(f(x)) \circ \mathrm{d}f(x)|{\mathscr{L}(E, G)} \&= |\mathrm{d}g(f(x_{n})) \circ \mathrm{d}f(x_{n}) - \mathrm{d}g(f(x)) \circ \mathrm{d}f(x_{n}) + \mathrm{d}g(f(x)) \circ \mathrm{d}f(x_{n}) - \mathrm{d}g(f(x)) \circ \mathrm{d}f(x) |{\mathscr{L}(E, G)} \&\leq | [\mathrm{d}g(f(x{n})) - \mathrm{d}g(f(x))] \circ \mathrm{d}f(x_{n}) |{\mathscr{L}(E, G)} + |\mathrm{d}g(f(x)) \circ \left[ \mathrm{d}f(x{n}) \mathrm{d}f(x) \right]|{\mathscr{L}(E, G)} \&\leq |\mathrm{d}g(f(x{n})) - \mathrm{d}g(f(x))|{\mathscr{L}(E, G)} \times |\mathrm{d}f(x{n})|{\mathscr{L}(E, G)} + |\mathrm{d}g(f(x))|{\mathscr{L}(E, G)} \times |\mathrm{d}f(x_{n}) - \mathrm{d}f(x)|_{\mathscr{L}(E, G)} \end{align}$$

[!corollaire] Soit f : \Omega \to F de classe \mathscr{C}^{1} Soient x, y \in \Omega tels que [x, y] := \{ ty + (1-t)x \mid t \in [0, 1] \} \subset \Omega (le segment [x, y] reste dans \Omega) (alternativement, on peut poser que \Omega est convexe) Alors l'application : \begin{align} \varphi : [0, 1] &\to F \\ t &\mapsto \varphi(t) = f(ty + (1-t)x) \end{align} est bien définie et elle est de classe \mathscr{C}^{1} sur [0, 1] avec \forall t \in [0, 1],\quad \varphi'(t) =

[!démonstration]- Démonstration Le caractère \mathscr{C}^{1} de \varphi est une conséquence immédiate de la proposition précédente, et du fait que la fonction g : t \mapsto ty + (1-t)x = x + t(y-x) \in \mathscr{C}^{1} (en effet, \varphi = f \circ g) De plus g'(t) = y - x et : \begin{align} \varphi'(t) &= \mathrm{d}\varphi(t)(1) = \mathrm{d}(f \circ g)(t)(1) \\&= \mathrm{d}f(g(t)) \circ \mathrm{d}g(t)(1) \\ &= \vdots \end{align}

Exemples