cours/famille de vecteurs échelonnée.md

alias

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échelonnée

up::famille de vecteurs title:: "famille qui forme une matrice triangulaire", "famille de vecteurs échelonnée $\implies$famille de vecteurs libre" #s/maths/algèbre

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[!definition] famille de vecteurs échelonnée Soient v_1,\ldots,v_k des vecteurs de \mathbb{R}^n avec 1\leq k \leq n. On dit que la famille \{v_1,\ldots,v_k\} est échelonnée ssi :

• la première coordonnée de v_1 est non nulle et les autres sont nulles
• les deux premières coordonnées de v_2 sont non nulles et les autres sont nulles
• \vdots
• les k premières coordonnées de v_k sont non nulles et les autres sont nulles

C'est-à-dire ssi : \forall i,t\in[\![1;k]\!]^2, (t>i \iff v_i[t] = 0) (où v_i[t] est là t^{\text{ème}} coordonnée de v_i) ^definition

Exemples

La famille \left\{ \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} 2\\-4\\0 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} 2\\6\\3 \end{pmatrix}\right\} est échelonnée dans \mathbb{R}^3.

La famille \left\{ \begin{pmatrix} 1\\2\\0\\0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\-4\\0\\4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\2\\3\\-1 \end{pmatrix} \right\} n'est pas échelonnée \mathbb{R}^4.

Propriétés

• Toute famille échelonnée dans \mathbb{R}^n est famille de vecteurs libre

[!query] Sous-notes de =this.file.link

LIST title
FROM -#cours AND -#exercice AND -"daily" AND -#excalidraw AND -#MOC
WHERE any(map([up, up.up, up.up.up, up.up.up.up], (x) => econtains(x, this.file.link)))
WHERE file != this.file
SORT up!=this.file.link, up.up.up.up, up.up.up, up.up, up