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espaces métriques	espace distance	#s/maths/topologie

[!definition] espace métrique Soit X un ensemble et d une distance sur X. (X, d) est appelé espace métrique ^definition

Propriétés

[!proposition] Produit d'espaces métriques Si E et F sont des $\mathbb{R}$-espace vectoriel métriques, alors leur produit E \times F est aussi un espace métrique

[!proposition] Le complémentaire d'un fermé est ouvert Soit (X, d) un espace métrique Soit A \subset X une partie de X alors : \boxed{A \text{ est fermée} \iff X\setminus A \text{ est ouverte}}

[!démonstration]- Démonstration Supposons A \subset X fermée Soit x \in X \setminus A, on veut trouver r>0 tel que B(x, r) \subset X \setminus A c'est-à-dire montrer que \exists r >0, \quad B(x, r) \subset X \setminus A donc montrer que l'affirmation \forall r>0 \quad B(x, r) \not\subset X \setminus A est fausse c'est-à-dire montrer que \forall r >0, \quad B(x, r) \cap A \neq \emptyset es fausse On procède donc par l'absurde. Prenons, pour n \in \mathbb{N}^{*}, r = \frac{1}{n} dans l'affirmation \forall r>0, B\left( x, \frac{1}{n} \right) \cap A il existe donc x_{n} \in B\left( n, \frac{1}{n} \right) \cap A, c'est-à-dire x_{n} \in A et d(x_{n}, x) < \frac{1}{n}

On a donc une suite (x_{n}) d'éléments de A, et comme \lim\limits_{ n \to \infty } d(x_{n}, x) = 0, on sait que (x_{n}) converge vers x mais comme A est vermée, on a donc x \in A et x \in X \setminus A on a donc une contradiction : x \in A et x \notin A Il existe donc n \in \mathbb{N}^{*} tel que B\left( x, \frac{1}{n} \right) \cap A = \emptyset (on ne peut pas construire tous les termes de la suite (x_{n})) Autrement dit : B\left( x, \frac{1}{n} \right) \subset X \setminus 1 On a donc trouvé r=\frac{1}{n} tel que B(x, r) \subset X \setminus A avec x \in X \setminus A quelconque Donc X \setminus A est ouvert.