cours/ensemble des parties d'un ensemble.md

up::MOC ensembles #s/maths/ensembles

[!definition] Ensemble des parties d'un ensemble Soit E un ensemble On note \mathscr{P}(E) l'ensemble des parties de $E$ défini comme l'ensemble des sous-ensembles de E : \mathscr{P}(E) := \{ F \mid F \subset E \} ^definition

Propriétés

• quelque soit E, on a \emptyset \subset E. Donc \emptyset toujours dans \mathscr{P}(E), quelque soit E
  • il ne faut pas oublier que l'ensemble vide est aussi une partie
• \text{card}(\mathscr{P}(E)) = 2^{\text{card(E)}} (ou bien |\mathscr{P}(E)| = 2^{|E|})
  • cardinal d'un ensemble
• Un ensemble n'est jamais en bijection avec l'ensemble de ses parties
  • \nexists E, \quad |E| = |\mathscr{P}(E)|