cours/distance discrète.md

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	distances particulières	s/maths/topologie

[!definition] Définition Soit E un ensemble quelconque La distance discrète est la distance d définie sur E^{n} par : \forall x, y \in E^{n},\quad d(x, y) = \begin{cases} 0 \text{ si } x = y \\ 1 \text{ si } x \neq y \end{cases}

[!démonstration]- Démonstration que c'est bien une distance

• symétrie Il est évident que d(x, y) = d(y, x) par symétrie de = et de \neq

• positivité d est à valeurs dans \{ 0, 1 \}, elle est donc bien positive

• séparation et d(x, x) = 0 d(x, y) = 0 \iff x = y est immédiat par définition

• inégalité triangulaire d(x+x', y+y') = \begin{cases} 0 \text{ si } x+x' = y+y' \\ 1 \text{ si } x+x' \neq y+y'\end{cases} d(x, y) + d(x', y') = \begin{cases} 0 \text{ si } x =y \\ 1 \text{ si } x \neq y \end{cases} + \begin{cases} 0 \text{ si } x' = y' \\ 1 \text{ si } x' \neq y' \end{cases} On distingue donc 4 cas :

  • si x = y et x' = y' alors d(x, y) + d(x', y') = 0, et d(x+x', y+y') = 0
  • si x = y et x'\neq y' alors d(x, y) +d(x', y') = 1 et d(x+x', y+y') = 1
  • si x \neq y et x' = y' alors d(x, y) + d(x', y') = 1 et d(x+x', y+y') = 1
  • si x\neq y et x' \neq y' alors d(x, y) + d(x', y') = 2 et d(x+x', y+y') \in \{ 0, 1 \}

  On voit que, dans tous les cas, on a bien d(x, y) + d(x', y') \leq d(x+x', y+y'), donc l'inégalité triangulaire est vraie pour d.

• I Cette distance est définie sur tout ensemble E non vide. Cela permet de montrer que tout ensemble ^definition

Propriétés

[!proposition]+ Boules de la distance discrète Soit d la distance discrète sur E \times E Soient p \in E et r \geq 0

• si r = 0 alors B(p, r) = \emptyset
• si r < 1 alors B(p, r) = \{ p \}
• si r \geq 1 alors B(p, r) = E

Exemples