cours/démonstration de l'unicité de la mesure produit.md

up:: mesure produit #t/démonstration #s/maths/intégration

[!lemme] Soient (E, \mathcal{A}, \mu) et (F, \mathcal{B}, \nu) deux espace mesuré que l'on suppose mesure sigma finie Soit C \in \mathcal{A} \otimes \mathcal{B} Notons, pour x \in E,\quad y \in F :

• C_{x} := \{ y \in F \mid (x, y) \in C \} les sections verticales de C
• C^{y} := \{ x \in E \mid (x, y) \in C \} les sections horizontales de C !cours L3.intégration 2024-11-13 14.35.12.excalidraw

On a alors : C_{x} \in \mathcal{B} et C^{y} \in \mathcal{A}

[!démonstration]- Démonstration Soit \mathscr{C} l'ensemble des ensembles C \in \mathcal{A} \otimes \mathcal{B} tels que \forall x \in E, \forall y \in F,\quad C_{x} \in \mathcal{B} \wedge C^{y} \in \mathcal{A}

• \mathscr{C} \subset \mathcal{A} \otimes \mathcal{B} par définition
• R \subset \mathscr{C} , en effet : si C \in R, alors \exists A \in \mathcal{A}, \exists B \in \mathcal{B},\quad C = A \times B Si x \in E,\quad C_{x} = \begin{cases} \emptyset \text{ si } x \notin A\\ B \text{ si } x \in A \end{cases} Si y \in F,\quad C^{y} = \begin{cases} \emptyset \text{ si } y \notin B\\ A \text{ si } y \in B \end{cases}
• \mathscr{C} est une tribu sur E \times F On remarque que (C_{x})^{\complement} = (C^{\complement})_{x} et que \displaystyle \bigcup _{n \in \mathbb{N}} C_{x}^{(n)} = \left( \bigcup _{n \in \mathbb{N}} C^{(n)} \right)_{x}

[!proposition]+ Théorème Soient (E, \mathcal{A}, \mu) et (F, \mathcal{B}, \nu) deux espace mesuré que l'on suppose mesure sigma finie

1. Il existe une unique mesure m sur (E\times F, \mathcal{A} \otimes \mathcal{B}) telle que \forall A \in \mathcal{A}, \forall B \in \mathcal{B},\quad m(A \times B) = \mu(A) \nu(B) avec la convention 0 \times (+\infty) = 0 Cette mesure est mesure sigma finie. On la note \mu \otimes \nu et on l'appelle mesure produit
2. Pour tout C \in \mathcal{A} \otimes \mathcal{B}
   • l'application \begin{align} E &\to \overline{\mathbb{R}^{+}}\\ x &\mapsto \nu(C_{x}) \end{align} est mesurable positive sur (E, \mathcal{A}) \to (\overline{\mathbb{R}}_{+}, \mathcal{B}(\overline{\mathbb{R}}_{+}))
   • l'application \begin{align} F &\to \overline{\mathbb{R}^{+}}\\ y &\mapsto \nu(C^{y}) \end{align} est mesurable positive sur (E, \mathcal{A}) \to (\overline{\mathbb{R}}_{+}, \mathcal{B}(\overline{\mathbb{R}}_{+})) et \displaystyle(\mu \otimes \nu)(C) = \int_{E} \nu(C_{x}) \, \mu(dx) = \int_{F} \mu(C^{y}) \, \nu(dy) \qquad (*)

[!info]- autres écritures de (*) (*) s'écrit aussi : \begin{align} \int_{E \times F} \mathbb{1}_{C} \, d\mu \otimes \nu &= \int_{E} \left( \int_{F} \mathbb{1}_{C_{x}}(y) \, \nu(dy) \right) \, \mu(dx) \\ &= \int_{F} \left( \int_{E} \mathbb{1}_{C^{y}}(x) \, \mu(dx) \right) \, \nu(dy) \end{align} ou encore : \begin{align} \int_{E\times F} \mathbb{1}_{C} \, d\mu \otimes \nu &= \int_{E} \left( \int_{F} \mathbb{1}_{C}(x, y) \, \nu(dy) \right) \, \mu(dx) \\&= \int_{F} \left( \int_{E} \mathbb{1}_{C}(x, y) \, \mu(dx) \right) \, \nu(dy) \end{align}