cours/définition axiomatique de Z.md

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[!definition] Définition de \mathbb{Z} \mathbb{Z} = \mathbb{N}^{*} \cup \{ 0 \} \cup (-\mathbb{N}^{*}) ^definition

Opérations

On sait que, sur \mathbb{N} :

• Si x \leq y, il existe z tel que y = x+z

On étend l'addition à \mathbb{Z} par :

• Si b \leq a, a+(-b) := c où a = b+c (l'existence de c découle du théorème précédent)
• Si b > a, a+(-b) := -c où a = b + c
• (-a) + (-b) := -(a+b)

On étend la multiplication à \mathbb{Z} par :

• a \cdot (-b) := -(ab)
• (-a)\cdot(-b):= a\cdot b

On vérifie que (\mathbb{Z}, +, \cdot) est un anneau commutatif