cours/classe d'une fonction.md

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classe	dérivées successives	#s/maths/analyse

[!definition] Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Soit n\in\mathbb N, f est de classe C^n ssi :

• f est fonction dérivable n fois sur I
• f^{(n)} est application continue sur I.

On dit que f est de classe C^\infty ssi :

• \forall n\in\mathbb n, f^{(n)} existe sur I (soit : f est de classe C^n pour tout n)
• \displaystyle C^\infty = \bigcap_{n>0}C^n ^definition

[!definition] Définition - pour les différentielles On dit qu'une fonction f : \Omega \subset E \to F est de classe \mathscr{C}^{1} si elle est différentiable en tout point x \in \Omega et si l'application x \mapsto \mathrm{d}f(x) est application continue de \Omega dans \mathcal{L}(E, F) l'espace vectoriel des applications linéaires

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On dit qu'un fonction f : \Omega \subset E\to F est de classe \mathscr{C}^{2} si \mathrm{d}f est de classe \mathscr{C}^{1}, c'est-à-dire si : \begin{align} \Omega \subset E &\to \mathscr{L}(E, \mathscr{L}(E, F)) \\ x &\mapsto \mathrm{d}(\mathrm{d}f)(x) \end{align} est continue Une fonction deux fois différentiable est donc de classe \mathscr{C}^{2} si \mathrm{d}^{2}f est continue de \Omega \to \mathscr{L}(E^{2}, F). ^definition-differentielles

Notation

On note:

• C^n(I) l'ensemble des fonctions de classe C^n sur I
• \displaystyle C^\infty(I) = \cap_{n\in\mathbb N}C^n(I) l'ensemble des fonctions dérivables une infinité de fois

Remarque

On peut utiliser C^{0} pour désigner les fonctions continues.