cours/centralisateur d'une partie d'un groupe.md

up:: groupe #s/maths/algèbre

[!definition] centralisateur d'une partie d'un groupe Soit G un groupe, et soit A \subseteq G L'ensemble C_{G}(A) := \{ g \in G \mid \forall a \in A, \quad ag=ga \} s'appelle le centralisateur de A dans G, et est un sous groupe de G

• ! Ne pas confondre avec le centre d'un groupe
• ! C_{G}(A) \neq A \cap Z(G) car C_{G}(A) peut contenir des élément en dehors de A (par ex : C_{G}(\{ 1_{G} \}) = G) ^definition

[!idea] Intuition Le centralisateur de A est l'ensemble des éléments qui commutent avec tous les éléments de A.

Propriétés

[!proposition]+ Le centralisateur est un sous groupe Le centralisateur C_{G}(A) de A\subseteq G dans un groupe G est un sous groupe de G.

Exemples