cours/anneau unifère.md

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	s/maths/algèbre	anneau

[!definition] Définition Soit A un anneau. On dit que A est unifère s'il admet un élément neutre non nul pour le produit. Autrement dit, si : \exists e \in A^{*},\quad \forall a \in A,\quad ae = ea =a avec A^{*} = A\setminus \{ 0_{A} \}

• i Cet élément est généralement noté e, 1 ou I ^definition

Propriétés

[!proposition]+ Tout anneau unifère contient au moins deux éléments Soit A un anneau unifère. On sait que A contient au moins deux éléments distincts :

• 0 l'élément neutre de l'addition
• 1 l'élément neutre du produit

[!démonstration]- Démonstration Comme A est un anneau, on sait qu'il doit contenir un élément neutre pour l'addition, d'où il suit que 0 \in A. Comme A est unifère, on sait qu'il contient un élément neutre pour le produit, et que cet élément est non nul, d'où il suit que 1 \in A et que 1 \neq 0. Ainsi, on a bien montré que \{ 0, 1 \} \subset A