cours/élément neutre.md

up::structure algébrique title::"e tel que $\forall x \in E, xe = ex = x$" #s/maths/algèbre

[!definition] Un élément e\in E est appelé élément neutre de E pour la loi * ssi : \forall a\in E, a*e=e*a=a ^definition

Remarque

• S'il existe e\in E tel que \forall a\in E, a*e=a, on dit que e est élément neutre à droite.
• S'il existe e\in E tel que \forall a\in E, e*a=a, on dit que e est élément neutre à gauche

Propriétés

• Un élément neutre est toujours unique (démonstration un groupe possède un unique élément neutre)

Démonstration

On suppose que E possède deux éléments neutres e et e' pour la loi de composition interne * Alors:

• e*e' = e car e' est élément neutre à droite.
• e*e'=e' car e est élément neutre à gauche. Donc e = e'. Conclusion: l'élément neutre, s'il existe, est unique.