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up::arithmétique #s/maths/arithmétique

[!definition] divisibilité Soient (a,b)\in\mathbb{Z}^2, on dit que b divise $a$ et on note \boxed{b\mid a} s'il existe q\in\mathbb{Z} tel que b = aq ^definition

Propriétés

[!proposition]+ fonction récursive primitive Le prédicat de divisibilité est une fonction récursive primitive

[!démonstration]- Démonstration Pour en faire un prédicat, on peut noter d | q := \begin{cases} 1 \text{ si } d \text{ divise } q\\ 0 \text{ sinon} \end{cases} On peut alors définir d|p par cas à partir de q comme suit : d|p := \begin{cases} 1 \text{ si } p = d \times q(p, d) \\ 0 \text{ sinon}\end{cases} (prédicat "d divise $p$") avec q(p, d) = \mu t \leq p \quad (p \dot{-} (td) < d) (quotient pour la division euclidienne de p par d) (voir schéma mu borné) ^recursive-primitive

Exemples