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up:: [[produit scalaire]], [[norme]]
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sibling:: [[inégalité de Minkowski]]
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title:: "$|\langle u, v\rangle| \leq \|u\|\cdot\|v\|$"
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#s/maths/algèbre
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> [!definition] inégalité de cauchy schwartz
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> Soit $(E, \varphi)$ un [[espace préhilbertien]] avec un [[produit scalaire]] $\varphi(x, y) = \langle x, y \rangle$
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> On a l'inégalité suivante : $|\langle u, v \rangle| \leq \|u\| \cdot \|v\|$
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^definition
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# Démonstration
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Soit un produit scalaire $\langle \cdot,\cdot \rangle$ et $\|\cdot\|$ sa norme associée.
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On a :
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$$\begin{align}
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\|\lambda x + y\| &= \langle \lambda x+y, \lambda x+y \rangle \\
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&= \lambda \langle x, \lambda x+y \rangle + \langle y, \lambda x+y \rangle \\
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&= \lambda^{2}\langle x, x \rangle + 2\lambda \langle x, y \rangle + \langle y, y \rangle && \text{carré scalaire développé}\\
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&= \lambda^{2}\|x\|^{2} + 2\lambda \langle x, y \rangle + \|y\|^{2} && \text{polynôme de degré 2 sur } \lambda \\
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&\qquad \begin{array}{rl} \\
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\Delta &=& \left( 2\langle x, y \rangle \right)^{2} - 4\|x\|^{2}\|y\|^{2} \\
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&=& 4 \left(\langle x, y \rangle^{2} - \|x\|^{2}\|y\|^{2} \right)
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\end{array}
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\end{align}$$
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Or, on sait que $\|\lambda x + y\| \geq 0$, donc on sait que le trinôme de degré 2 est toujours positif.
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Alors, $\Delta \leq 0$, et donc on a :
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$$\begin{align}
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\Delta \leq 0 &\iff 4\left( \langle x, y \rangle^{2} - \|x\|^{2}\cdot\|y\|^{2} \right) \leq 0 \\
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&\iff \langle x, y \rangle^{2} - \|x\|^{2}\cdot\|y\|^{2} \leq 0 \\
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&\iff \langle x, y \rangle^{2} \leq \|x\|^{2}\cdot\|y\|^{2} \\
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&\iff |\langle x, y \rangle | \leq \|x\|\cdot\|y\| \\
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\end{align}$$
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On a donc bien démontré que $\boxed{|\langle x, y \rangle | \leq \|x\|\cdot\|y\|}$
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## Démonstration visuelle en 2D
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![[inégalité de cauchy schwartz 2023-01-30 17.04.54.excalidraw|100%]]
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# Propriétés
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## Cas d'égalité
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Quand il y a égalité (quand $|\langle u, v\rangle | = \|u\|\cdot\|v\|$), les vecteurs $u$ et $v$ sont [[vecteurs colinéaires|colinéaires]].
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