cours/espace métrique compact.md

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compact

up:: espace métrique #s/maths/topologie

[!definition] espace métrique compact Un espace métrique (X, d) est compact si toute suite (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} d'éléments de X admet une suite extraite qui converge dans X.

• i on peut remplacer l'existence d'une sous-suite convergente par la propriété de Borel-Lebesgue (ce qui permet de généraliser aux structure de topologie) ^definition

[!definition] Autres définitions

• Pour n'importe quel (U_{i})_{i \in I} recouvrement par des ouverts de X, il existe un recouvrement extrait (U_{j})_{j \in J} avec J fini
• Pour toute famille (F_{i})_{i \in I} de partie fermée d'un espace métrique de (X, d), si \displaystyle\forall J \subset I \text{ finie},\quad \bigcap _{j \in J} F_{j} \neq \emptyset alors \displaystyle\bigcap _{i \in I} F_{i} \neq \emptyset

Voir espace métrique compact#^definitions-alternatives

Propriétés

[!proposition]+ Toute partie compacte est fermée Soit (X, d) un espace métrique Soit C \subset X une partie compacte (pour la distance induite) Si toute suite (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} admet une suite extraite (x_{\varphi(n)})_{n \in \mathbb{N}} convergente dans C, alors C est partie fermée d'un espace métrique.

[!démonstration]- Démonstration Soit (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} une suite d'éléments de C qui converge vers \ell (x_{n})_{n} admet une suite extraite (x_{\varphi(n)})_{n \in \mathbb{N}} qui converge dans C Mais, vu la remarque précédente, on a : x_{\varphi(n)} \xrightarrow{n \to \infty} \ell et, par hypothèse : \ell = \lim\limits_{ n \to \infty } x_{\varphi(n)} \in C Donc \ell \in C et C est bien fermé

[!proposition]+ une fonction réelle continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes Soit (X, d) un espace métrique compact non vide Si f : X \to \mathbb{R} est une application continue, alors : \displaystyle\exists x_0 \in X,\quad f(x_0) = \inf_{x \in X}f(x) \displaystyle\exists x_1 \in X,\quad f(x_1) = \sup_{x \in X} f(x)

• = en particulier, \inf\limits_{x \in X} f(x) > -\infty et \sup\limits_{x \in X}f(x) < +\infty
• I On dit qu'une fonction continue à valeurs réelles sur un compact est bornée et atteint ses bornes

[!démonstration]- Démonstration Soit (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} une suite d'éléments de X telle que \displaystyle f(x_{n}) \xrightarrow{n \to \infty} \inf_{x \in X} f(x) La suite (x_{n}) admet une suite extraite (x_{\varphi(x)})_{n \in \mathbb{N}} qui converge dans X. Notons x_0 = \lim\limits_{ n \to \infty } x_{\varphi(n)} Comme f est continue, on a : \begin{align} f(x_0) &= \lim\limits_{ n \to \infty } f(x_{\varphi(n)}) \\ &= \inf_{x \in X} f(x) \end{align} On a donc trouvé x_0 \in X tel que \displaystyle f(x_0) = \inf_{x \in X} f(x) On procède de la même manière pour trouver x_1 \in X tel que f(x_1) = \sup_{x \in X}f(x)

[!example]- Exemple d'application considérons C une partie compacte non vide de (X, d) un espace métrique quelconque Fixons a \in C La fonction \begin{align} f : C &\to \mathbb{R}\\ x &\mapsto d(a, x) \end{align} est continue Donc il existe x_1 \in C tel que \displaystyle f(x_1) = \sup_{x \in C} f(x) \displaystyle d(a, x_1) = \sup_{x \in C} d(a, x) Si on note R = d(x_1, a), on a \forall x \in C,\quad d(a, x) \leq \sup\limits_{x \in C} d(a, x) donc d(a, x) \leq R et donc C est bornée

[!proposition]+ La compacité est stable par union finie Soit (X, d) un espace métrique Si C_1, \dots, C_{n} est un ensemble fini de parties compactes de X, alors : \displaystyle\bigcup _{k = 1}^{n} C_{k} est encore une partie compacte

[!proposition]+ La compacité est stable par intersection dénombrable Soit (X, d) un espace métrique Si F_1, \dots, F_{n} est un ensemble quelconque de parties fermées dont au moins une est compacte, alors : \displaystyle \bigcap _{k=1}^{n} F_{k} est compacte

[!proposition]+ compacité sur un $\mathbb{R}$-espace vectoriel Soit (E, \|\cdot\|) un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie Pour toute partie C \subset E, on a équivalence entre :

1. C est compacte
2. C est partie fermée d'un espace métrique fonction bornée

!théorème de Riesz#^theoreme

[!proposition]+ Définitions alternatives de la compacité Soit (X, d) un espace métrique Alors on a équivalence entre :

1. (X, d) est compact
2. Pour n'importe quel (U_{i})_{i \in I} recouvrement par des ouverts de X, il existe un recouvrement extrait (U_{j})_{j \in J} avec J fini
3. Pour toute famille (F_{i})_{i \in I} de partie fermée d'un espace métrique de (X, d), si \displaystyle\forall J \subset I \text{ finie},\quad \bigcap _{j \in J} F_{j} \neq \emptyset alors \displaystyle\bigcap _{i \in I} F_{i} \neq \emptyset

• ? Intérêt : on a des définitions de la compacité qui n'utilisent pas la convergence des suites (bien pour les structure de topologie généraux)
• dem démonstration des définitions alternatives de la compacité ^definitions-alternatives

Exemples

• p Par le Théorème de Bolzano-Weierstrass, on sait que tout intervalle I partie fermée d'un espace métrique borné de \mathbb{R} est compact.
• c \mathbb{R} n'est pas compact
  • si x_{n} =n, alors toutes les sous-suites de (x_{n}) tendent vers +\infty
• c ]0; 1] n'est pas compact
  • par exemple, x_{n} = \frac{1}{n+1} est une suite d'éléments de ]0; 1] mais toutes les suites extraites convergent vers 0 \notin ]0; 1]