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[!definition] Espace affine On appelle espace affine \mathcal{E} associé à l'espace vectoriel $\vec{E}$ un ensemble de points tel que :

• \forall (A, B) \in \mathcal{E}^{2}, \quad \exists \vec{v} \in \vec{E}, \vec{v} = \overrightarrow{AB}
  • Pour tous points (A, B) \in \mathcal{E}^{2} on peut trouver \overrightarrow{AB} \in \vec{E}
  • chaque paire de points à son vecteur dans \vec{E}
• \forall (A, B) \in \mathcal{E}, \quad \overrightarrow{AB} = - \overrightarrow{BA}
  • inverser les points oppose le vecteur
• \forall (A, B, C) \in \mathcal{E}, \quad \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} (relation de chasles)
• \forall O\in \mathcal{E}, \quad \forall v \in \vec{E}, \quad \exists! A \in \mathcal{E}, \quad \overrightarrow{OA} = \vec{v}
  • Pour toute translation fixée, il existe une unique image de chaque point (la translation est une injection)
  • On déduit ensuite que la translation est une bijection par l'axiome \overrightarrow{AB} = - \overrightarrow{BA} ^definition

[!definition] Repère d'un espace affine Soit \mathcal{E} un espace affine Soit \vec{E} l'espace vectoriel associé à \mathcal{E} Un repère de \mathcal{E} est constitué d'un point O \in \mathcal{E} et d'une base d'un espace vectoriel de \vec{E}

[!example] Exemple Soit l'espace affine \mathbb{R}^{2} associé à l'espace vectoriel \mathbb{R}^{2} On note (O, \vec{i}, \vec{j}) les repères de \mathbb{R}^{2}, où O est un point, et \left\{ \vec{i}; \vec{j} \right\} une base d'un espace vectoriel de \mathbb{R}^{2}

Propriétés

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