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- "[[matrice diagonale]]"
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- "#s/maths/algèbre"
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Diagonaliser permet de transformer une application linéaire en une composée $P D P ^{-1}$
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On trouve $D$ la matrice diagonale, qui conserve les directions (chaque vecteur est multiplié par un coefficient, éventuellement différent)
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$P$ est une matrice de passage.
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$P D P ^{-1}$ est donc : `[changement de base] -> application conservant les directions -> [changement de base inverse]`.
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Toutes les matrices ne sont pas diagonalisables, donc toutes
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# Méthode simple
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- Calculer les valeurs de $\lambda$ telles que $\mathrm{\det} \left( A - \lambda I_{n} \right) = 0$ ([[polynôme]] de [[degré d'un polynôme|degré]] $n$)
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- Si on a $n$ [[valeur propre d'une matrice|valeurs propres]] distinctes, il suffit de les mettres comme coefficients d'une [[matrice diagonale]] pour diagonaliser $A$
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- [!] si on a certaines [[valeur propre d'une matrice|valeurs propres]] de [[valeur propre d'une matrice#Multiplicité|multiplicité]] $\geq 2$
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- il faut vérrifier que la dimension du [[sous espace propre]] associé à ces valeurs prores est égale à leur multiplicité
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- sinon, on ne pourra pas créer la matrice de changement de base
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- Chercher pour chaque valeur de $\lambda$ les vecteurs $u \neq 0_{E}$ tels que $A \cdot u = \lambda u$
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- On trouve $n$ vecteurs propres ($n$ est le degré du [[polynôme]] associé à $\det(A - \lambda I_{n})$)
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- Les vecteurs propres forment une base
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- on note $P$ la matrice de passage formée de ces [[vecteur propre|vecteur propre]] en colonne
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- Alors :
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- $A = PDP^{-1}$ (où $D$ est $A$ diagonalisée)
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- $D = P ^{-1} A P$ (permet de trouver la matrice diagonale)
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> [!example] Exemple
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> On pose $A = \begin{pmatrix}2&1&0\\0&1&-1\\0&2&4\end{pmatrix}$
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> $\det (A - 2 I_{3}) = 0$ car alors une colonne est nulle
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> Donc $2$ est une [[valeur propre d'une application linéaire|valeur propre]]
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> On cherche les vecteurs propres $u \neq \vec{0}$ tels que $A \cdot u = 2u$
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> Alors, on remarque que $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ est un [[vecteur propre|vecteur propre]] associé à la [[valeur propre d'une application linéaire|valeur propre]] $\lambda = 2$
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