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alias: "démonstration sh(a+b)"
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up::[[fonction sinus hyperbolique|sh]]
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description::"démonstration de $\mathrm{sh}(a+b)=\mathrm{sh}(a)\mathrm{ch}(b)+\mathrm{sh}(b)\mathrm{ch}(a)$"
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#s/maths/trigonométrie #t/démonstration
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# démonstration sinus hyperbolique d'une somme
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$\mathrm{sh}(a)+\mathrm{ch}(a) = \dfrac{e^{a}-e^{-a}}{2}+\dfrac{e^{a}+e^{-a}}{2} = \dfrac{2e^{a}}{2} = e^a$
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Donc :
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$\boxed{e^{a} = \mathrm{sh}(a)+\mathrm{ch}(a)}$
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Alors :
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$$
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\begin{align*}
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\mathrm{sh}(a+b) &= \dfrac{e^{a+b} - e^{-a-b}}{2}\\
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&= \dfrac{\big(\mathrm{sh}(a)+\mathrm{ch}(a)\big)\big(\mathrm{sh}(b)+\mathrm{ch}(b)\big) - \big(\mathrm{sh}(-a)+\mathrm{ch}(-a)\big)\big(\mathrm{sh}(-b)+\mathrm{ch}(-b)\big)}{2}\\
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&= \dfrac{\big(\mathrm{sh}(a)+\mathrm{ch}(a)\big)\big(\mathrm{sh}(b)+\mathrm{ch}(b)\big) - \big(\mathrm{ch}(a)-\mathrm{sh}(a)\big)\big(\mathrm{ch}(b)-\mathrm{sh}(b)\big)}{2} \\\\
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& \text{en développant :}\\
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&= \dfrac{2\mathrm{sh}(a)\mathrm{ch}(b) + 2\mathrm{ch}(a)\mathrm{sh}(b)}{2}\\
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&= \mathrm{sh}(a)\mathrm{ch}(b)+\mathrm{sh}(b)\mathrm{ch}(a)
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\end{align*}
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$$
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