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anneau ℤ	arithmétique anneau	#s/maths/arithmétique #s/maths/algèbre

[!definition] Anneau \mathbb{Z} \mathbb{Z} muni de +, \cdot est un anneau relation d'ordre totale par la relation \leq On le note (\mathbb{Z}, +, \cdot, \leq) ^definition

Propriétés

• \leq fonctionne comme une relation d'ordre sur \mathbb{Z}

  • \forall (a, b, c) \in \mathbb{Z}^{3}, \quad a \leq b \implies a+c \leq b+c
  • \forall (a, b, c) \in \mathbb{Z}^{3}, ( a\leq b \,\wedge\, c>0) \implies ac \leq bc

• La valeur absolue sur \mathbb{Z} a les propriétés classiques

  • \forall z \in \mathbb{Z}, \quad |z|\geq 0 \quad \text{ et } \quad |z| = 0 \iff z = 0
  • \forall (z, z')\in\mathbb{Z}^{2}, \quad \big| |z| - |z'| \big| \,\leq\, \big| z+z' \big| \,\leq\, |z| + |z'|
  • \forall (z, z')\in\mathbb{Z}^{2}, \quad |zz'| = |z| \cdot|z|

• La division euclidienne est définie et son résultat unique sur \mathbb{Z}

[!proposition]+ idéaux de \mathbb{Z} Les idéaux d'un anneau de \mathbb{Z} sont les n\mathbb{Z} pour n \in \mathbb{Z}