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up: "[[norme]]"
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tags: "#s/maths/algèbre"
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> [!definition] Distance
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> Soit $X$ un ensemble
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> Une application $d : X \times X \to \mathbb{R}$ est appelée **distance** ssi :
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> - $\forall (x, y) \in X^{2}, \quad d(x, y) = d(y, x)$ ([[relation symétrique|symétrie]])
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> - $\forall (x, y) \in X^{2}, \quad d(x, y) \geq 0$ toutes les distances sont positives ou nulles
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> - $\forall x \in X, \quad d(x, x) = 0$
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> - $\forall (x, y) \in X^{2}, \quad d(x, y) = 0 \implies x = y$ ([[espace séparé|séparation]])
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> - $\forall (x, y, z) \in X^{3}, \quad d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)$ ([[inégalité triangulaire]])
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^definition
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> [!definition] distance (définition à partir d'une [[norme]])
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> Soit $(E, \langle\cdot,\cdot \rangle)$ un [[espace préhilbertien]]
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> Soit $\|\cdot\|$ la norme de cet espace ($\|x\|^{2} = \langle x, x \rangle$)
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> On définit une **distance** $d$ sur cet espace, à partir de la [[norme]] comme :
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> $\boxed{d(x, y) = \|y - x\|}$
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^definition-depuis-une-norme
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```breadcrumbs
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title: "Sous-notes"
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type: tree
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collapse: false
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show-attributes: [field]
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field-groups: [downs]
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depth: [0, 0]
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```
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# Propriétés
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> [!info] Equivalence entre distance et norme
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> Si $\|\cdot\|$ est une norme sur $E$, alors l'application
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> $\begin{align} d :& E\times E \to \mathbb{R}\\ &(x, y) \to \|x-y\| \end{align}$
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> est une distance
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > Soit $E$ un [[espace vectoriel]]
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> > Soit $\|\cdot\|$ une [[norme]] sur $E$
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> > Soit l'application :
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> > $\begin{align} d :& E\times E \to \mathbb{R}\\ &(x, y) \mapsto \|x -y\| \end{align}$
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> > On cherche à montrer que $d$ est une [[distance]].
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> >
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> > $\forall x, y \in E, \quad d(x, y) = \|x-y\| \geq 0$ donc $d$ est bien positive
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> >
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> > $\forall x, y \in E$ on a :
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> > $\begin{align} d(x, y) =0 &\iff \|x-y\| = 0_{\mathbb{R}} \\ &\iff x - y = 0_{E} \\ &\iff x = y \end{align}$
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> > Donc la séparation est bien vérifiée ($\forall x, y \in E, \quad d(x, y) = 0 \implies x = y$) et un point est bien à distance nulle de lui-même ($\forall x, y \in E, \quad x = y \implies d(x, y) = 0$)
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> >
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> > $\forall x, y \in E$ on a :
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> > $\begin{align} d(y, x) &= \|y-x\| \\&= \|(-1)(x-y)\| \\&= |-1|\cdot\|x-y\| & \text{homogénéité} \\&= \|x-y\| \\&= d(x, y) \end{align}$
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> > Donc $d$ est bien symétrique
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> >
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> > Soient $x, y , z \in E$
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> > $$\begin{align}
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> > d(x, z) &= \|x - z\| \\
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> > &= \|x - y + y - z\| \\
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> > &\leq \|x - y\| + \|y - t\| & \text{par l'inégalité trianglulaire}\\
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> > &\leq d(x, y) + d(y, z)
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> > \end{align}
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> > $$
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> > Donc $d$ respecte l'inégalité trianglulaire.
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> >
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> > Alors, comme $d$ respecte les axiomes de séparation,
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# Exemples
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> [!example] Exemple
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> Soit $X = \mathbb{R}^{2} \setminus \text{obstacles}$
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> ![[cours L3.topologie.espaces métriques et espaces vectoriels normés 2024-09-05 10.50.22.excalidraw]]
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> On peut définir $d(a, b) = \inf(\text{longueur de tous les chemins reliant } a \text{ à } b)$
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> On pourra alors vérifier que c'est bien une distance (elle respecte les propriétés)
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